VII Soit (Pn) une suite de polynômes à coefficients réels

VII Soit (Pn) une suite de polynômes à coefficients réels convergeant uniformément sur r vers f. Montrer
que f est un polynôme (utiliser le critère de Cauchy).
D'après le critère de Cauchy uniforme il existe un entier naturel N tel que pour tout entiers naturels p et q :
q ≥ p ≥ N ⇒ ∀ x ∈
r , |Pq(x) – Pp(x)| ≤ 1.
Pour p = N on a donc : q ≥ N ⇒ ∀ x ∈
r , |Pq(x) – PN(x)| ≤ 1. Le polynôme Pq – PN étant borné sur r , il est constant,
et il existe cq ∈
r tel que Pq – PN = cq pour q ≥ N. Comme la suite (Pn) converge uniformément sur r vers f, alors la
suite (Pn(0)) converge vers f(0), donc la suite (cq) converge vers f(0) – PN(0). La relation Pq = PN + cq pour q ≥ N,
donne, en faisant tendre q vers + ∝ : f = PN + f(0) – PN(0) et f est donc un polynôme.