École polytechnique 2015-2016 Théorie de Galois On note p un

École polytechnique 2015-2016
Théorie de Galois
Feuille d’exercices 4
On note pun nombre premier, Fple corps fini Z/pZet Ωune clôture algébrique de Fp. Enfin,
on désignera par Frobp: Ω →Ωl’élévation à la puissance p(morphisme de Frobenius).
Exercice 1.
(i). Soit Gun groupe abélien fini. Si xet ysont deux éléments de Gd’ordres net mpremiers
entre eux, montrer que xy a pour ordre nm.
(ii). Montrer qu’il existe dans Gun élément d’ordre le ppcm des ordres des éléments de G.
(iii). Soit Kun corps et Gun sous-groupe fini de K×. Montrer que Gest cyclique.
Exercice 2.
(i). Rappeler pourquoi Fp={x∈Ω, xp=x}.
(ii). (pimpair) Montrer qu’il existe ζ∈Ωtel que ζ2=−1. En déduire que −1est un carré
dans Fpsi et seulement si p≡1 mod 4.
(iii). (pimpair) Montrer qu’il existe ζ∈Ωtel que ζ4=−1. En considérant l’élément ζ+ζ−1,
montrer que 2est un carré dans Fpsi et seulement si p≡ ±1 mod 8.
Exercice 3. Montrer que T6+T4+T+ 1 ∈F2[T]est le produit de trois polynômes irréductibles distincts.
Exercice 4. (Chevalley-Warning) Soit Fun corps fini de cardinal q.
(i). Montrer que si r < q −1,Px∈Fxr= 0. (On fait la convention que 00= 1.)
(ii). En déduire que si P∈F[X1, . . . , Xn]est un polynôme de degré d < n, le nombre d’élé-
ments (x1, . . . , xn)∈Fntels que P(x1, . . . , xn) = 0 est divisible par p. (Indication : on
pourra considérer le polynôme Pq−1.)
(iii). On suppose de plus que Pest homogène non constant. Montrer l’équation P(x1, . . . , xn) =
0admet un zéro non trivial.
Exercice 5. Soient Fun corps fini de cardinal qet P∈F[T]un polynôme de degré d, supposé tel que
P(0) = 0 pour simplifier.
(i). Soit Q(X) = Qλ∈F(X−P(λ)). Montrer que les coefficients de Qde degré q−itel que 0<
di < q −1sont nuls. (Indication : on pourra considérer Qλ∈F(X−P(tλ)) = Pici(t)Xq−i,
où ci∈F[t]est de degré ≤di.)
(ii). Montrer que P(F)⊆Fest l’ensemble des zéros du polynôme Q−(Xq−X)et en déduire
que soit P(F) = Fsoit P(F)est de cardinal au plus q−q−1
d.
Exercice 6. Soit x∈Ω×et soit dx= [Fp(x) : Fp]son degré sur Fp. (On rappelle que c’est aussi le degré
de son polynôme minimal ΠFp,x sur Fp.)
(i). Montrer dxest le plus petit entier d≥1tel que Frobd
p(x) = x.
(ii). Montrer que l’ordre Nde xdans Ω×est premier à p.
(iii). Montrer que dxest l’ordre de pdans (Z/NZ)×.
(iv). Montrer que les Fp-conjugués de xdans Ωsont exactement les Frobn
p(x)avec 0≤n<dx.
Exercice 7. (Polynôme d’Artin-Schreier) Montrer que si pest premier et a∈F×
p, alors Xp−X+aest
irréductible dans Fp[X]. (On pourra utiliser l’exercice précédent.)
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Exercice 8.
(i). Montrer que Φp(X) = Xp−1+··· +X+ 1 est irréductible dans Q[X]. (Indication : on
pourra appliquer le critère d’Eisenstein au polynôme Φp(X+ 1).)
La suite de cet exercice est consacrée à l’étude de la réduction de Φpmodulo un
nombre premier `6=p.
(ii). Montrer que la réduction modulo `de Φpest de la forme P1···Pgoù tous les Pisont des
irréductibles unitaires distincts de même degré, égal à l’ordre de `dans F×
p. (On pourra
utiliser l’exercice 5.)
(iii). En déduire que Φpest irréductible sur F`si et seulement si `engendre F×
p.
(iv). Montrer que Φpadmet une racine dans F`si et seulement si `≡1 mod p.
(v). Déduire du (iv) qu’il existe une infinité de nombres premiers `tels que `≡1 mod p.
(Indication : on pourra s’inspirer de la preuve d’Euclide de l’infinité des nombres premiers.)
Exercice 9.
(i). Trouver le plus petit nombre premier ptel que P22
i=0 Tisoit irréductible dans Fp[T].
(ii). Trouver les dix plus petits nombres premiers ptels que Pp−1
i=0 Tisoit irréductible dans F2[T].
Exercice 10. Soit P∈Fp[X]un polynôme de degré d.
(i). Montrer que Pest irréductible dans Fp[X]si et seulement si Pn’a pas de racine dans
Fprpour tout r≤d
2.
(ii). (Application) Montrer que F4={0,1, j, j2}avec j2= 1+j. En déduire que les polynômes
1+X2+X5,1+X3+X5,1+X+X2+X3+X5,1+X+X2+X4+X5,1+X+X3+X4+X5
et 1 + X2+X3+X4+X5sont les polynômes irréductibles de degré 5de F2[X].
(iii). (Une variante) Supposons d≤5. Montrer que Pest irréductible dans Fp[X]si et seulement
si (P, Xp2−X) = 1.
Exercice 11.
(i). Vérifier les factorisations dans C[X]
X4+1 = (X2+i)(X2−i) = (X2−√2X+1)(X2+√2X+1) = (X2+i√2X−1)(X2−i√2−1).
(ii). En déduire que X4+ 1 est irréductible dans Q[X].
(iii). On suppose pimpair. Montrer que l’ensemble des carrés de F×
pest un sous-groupe d’in-
dice 2. En déduire que si a, b ∈Fp, alors a,bou ab est un carré dans Fp.
(iv). Montrer que X4+ 1 est réductible dans Fp[X]pour tout nombre premier p.
Exercice 12. Soit pun nombre premier fixé. Quelle est la probabilité qu’un polynôme unitaire f∈Fp[T]
de degré dsoit un produit de polynômes irréductibles de degrés 1ou 2? Évaluer ces nombres
(rationnels) pour p= 2 et d≤7.
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