Justifiez toutes vos réponses ! ! !

Licence L3, Anneaux et arithmétique (ANAR) Année 2008-2009
Examen juin 2009, durée 2 heures
Justifiez toutes vos réponses ! ! !
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Le barème envisagé est entre parenthèses et est donné à titre indicatif.
Exercice 1. (3 points) Soit (A; +,·)un anneau unitaire idempotent (c’est-à-dire tout
élément a∈Avérifie a·a=a).
1. Montrer 1 = −1dans Aet que Aest commutatif.
2. Montrer que ab(a+b)=0pour tous aet bdans A.
3. Montrer que si An’a pas de diviseur de zéro et n’est pas réduit à {0}, alors A
est le corps à deux éléments.
Exercice 2. (4 points) Le polynôme suivant f∈Q[X, Y ]est-il irréductible ?
f=Y X4−Y X3+ÄY3+ 1äX2−2Y3X+Y5+Y3−1
=Y5+ÄX2−2X+ 1äY3+ÄX4−X3äY+X2−1
Exercice 3. (5 points) On considère les idéaux (2X),(X, Y )et (X, Y, 2) de Z[X, Y ].
Lesquels sont premiers ? Lesquels sont maximaux ?
Exercice 4. (8 points) Soit f=X3+X2+X−1∈F5[X]. On note K=F5[X]/(f),
K∗le groupe multiplicatif de Ket αl’image de Xpar le morphisme canonique
π:F5[X]→K.
1. Montrer que Kest un corps. Quelle est sa caractéristique ? Son cardinal ? Donner
une base du F5-espace vectoriel K.
2. Quel est l’inverse de α2+ 2 dans K?
3. Quels sont les ordres multiplicatifs possibles des éléments du groupe K∗?
4. Déterminer l’ordre de αdans le groupe K∗, en déduire un élément primitif
(générateurs du groupe K∗).
5. Déterminer le polynôme minimal de 2α2sur F5.
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