X Soit A un anneau commutatif. A quelle condition nécessaire et

X Soit A un anneau commutatif. A quelle condition nécessaire et suffisante sur A est-il vrai que pour tout
entier naturel non nul n, tout polynôme de A[X] de degré n admet n racines au plus ?
(Réponse : A est intègre; si A n’est pas intègre et si a et b sont des diviseurs de 0, considérer le polynôme
(X – a)(X – b)).
Si A est intègre on le plonge dans son corps des fractions K. Dans K[X] tout polynôme de degré n non nul à au plus n
racines donc le résultat est vrai aussi dans A[X].
Réciproquement si A n'est pas intègre il existe deux éléments a et b non nuls tels que a.b = 0. Si a ≠ b alors le
polynôme (X – a)(X – b) a pour racines a, b et 0. Si a = b on a a2 = 0 et le polynôme (X – a)2 = X2 – 2aX a pour racines
a, 2a et 0.