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Université François-Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Partiel
UE 6-3 Algèbre
Semestre 6
L’épreuve dure 2h. Les trois exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la
rédaction. Toute affirmation doit être justifiée.
Questions de cours.
1. Soit K un corps et soit P ∈ K[X] un polynôme de degré 2 ou 3. Montrer que :
P est irréductible sur K ⇐⇒ P n’admet pas de racine dans K.
Ce résultat est-il encore vrai pour les polynômes de degré supérieur ou égal à 4 ?
2. Déterminer la décomposition en irréductibles de X 4 + 1 dans C[X], R[X] puis Q[X].
Exercice 1. Soit R2 [X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.
Soit f une application linéaire telle que
f:
R2 [X]
X +1
X −1
X2
−→
7−→
7−→
7−→
R2 [X]
2
X2 − 1
X −1
Déterminer la matrice de f dans la base canonique B = (1, X, X 2 ).
Exercice 2. Soit P = X 3 + X + 1 ∈ Q[X]. On rappelle que (P ) désigne l’idéal engendré par (P ) dans
Q[X] et on pose F = Q[X]/(P ). On désigne par Q la classe de Q ∈ Q[X] dans F .
a
où pgcd(a, b) = 1 est racine de P alors b = ±1 et a = ±1.
b
2. En déduire que P est irréductible sur Q.
1. Montrer que si
Puisque P est irréductible, on sait que F est un corps.
3. Déterminer un polynôme Q de degré inférieur ou égal à 2 tel que X 4 + X 3 + X + 1 = Q.
4. Déterminer l’inverse de X + 1 dans F .
[ Aide : On pourra utiliser l’identité de Bézout. ]
On pose α = X ∈ F . On sait que F est un espace vectoriel de dimension 2 sur Q et que B := (1, α, α2 )
forme une base de F . Ici, on a noté simplement 1 au lieu de 1 pour simplifier les notations.
On considère l’application linéaire mα définie par
m:
F −→
Q 7−→
F
αQ.
4. Calculer mα (1), mα (α) et mα (α2 ) et montrer que


0 0 −1
M = 1 0 −1 ∈ M3 (Q)
0 1 0
est la matrice de mα dans B.
5. Soit (a, b, c) ∈ Q3 . Montrer que

a
aI3 + bM + cM 2 =  b
c

−c
−b
a − c −b − c
b
a−c
et en déduire que la famille (I3 , M, M 2 ) forme une famille libre de M3 (Q).
1
6. Montrer que M 3 = −M − I3 et en déduire que Vect(I3 , M, M 2 ) est un sous-anneau de M3 (Q).
Les questions précédentes permettent de montrer que l’application
ϕ:
F
−→
a + bα + cα2
7−→
Vect(I2 , M, M 2 )


a −c
−b
 b a − c −b − c
c
b
a−c
est un isomorphisme d’anneau.
7. Déterminer ϕ(1+α) ∈ M3 (Q) et calculer son inverse. Comparer le résultat avec celui de la question 3.
2