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Université François-Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Partiel
UE 6-3 Algèbre Semestre 6
L’épreuve dure 2h. Les trois exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la
rédaction. Toute affirmation doit être justifiée.
Questions de cours.
1. Soit Kun corps et soit P∈K[X]un polynôme de degré 2 ou 3. Montrer que :
Pest irréductible sur K⇐⇒ Pn’admet pas de racine dans K.
Ce résultat est-il encore vrai pour les polynômes de degré supérieur ou égal à 4 ?
2. Déterminer la décomposition en irréductibles de X4+ 1 dans C[X],R[X]puis Q[X].
Exercice 1. Soit R2[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.
Soit fune application linéaire telle que
f:R2[X]−→ R2[X]
X+ 1 7−→ 2
X−17−→ X2−1
X27−→ X−1
Déterminer la matrice de fdans la base canonique B= (1, X, X2).
Exercice 2. Soit P=X3+X+ 1 ∈Q[X]. On rappelle que (P)désigne l’idéal engendré par (P)dans
Q[X]et on pose F=Q[X]/(P). On désigne par Qla classe de Q∈Q[X]dans F.
1. Montrer que si a
boù pgcd(a, b) = 1 est racine de Palors b=±1et a=±1.
2. En déduire que Pest irréductible sur Q.
Puisque Pest irréductible, on sait que Fest un corps.
3. Déterminer un polynôme Qde degré inférieur ou égal à 2 tel que X4+X3+X+ 1 = Q.
4. Déterminer l’inverse de X+ 1 dans F.
[Aide : On pourra utiliser l’identité de Bézout. ]
On pose α=X∈F. On sait que Fest un espace vectoriel de dimension 2 sur Qet que B:= (1, α, α2)
forme une base de F. Ici, on a noté simplement 1au lieu de 1pour simplifier les notations.
On considère l’application linéaire mαdéfinie par
m:F−→ F
Q7−→ αQ.
4. Calculer mα(1),mα(α)et mα(α2)et montrer que
M=
0 0 −1
1 0 −1
0 1 0
∈ M3(Q)
est la matrice de mαdans B.
5. Soit (a, b, c)∈Q3. Montrer que
aI3+bM +cM2=
a−c−b
b a −c−b−c
c b a −c
et en déduire que la famille (I3, M, M2)forme une famille libre de M3(Q).
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6. Montrer que M3=−M−I3et en déduire que Vect(I3, M, M 2)est un sous-anneau de M3(Q).
Les questions précédentes permettent de montrer que l’application
ϕ:F−→ Vect(I2, M, M2)
a+bα +cα27−→ 
a−c−b
b a −c−b−c
c b a −c
est un isomorphisme d’anneau.
7. Déterminer ϕ(1+α)∈ M3(Q)et calculer son inverse. Comparer le résultat avec celui de la question 3.
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