TD Polynômes et extensions de corps

Polytech Marseille, Dept Informatique, année 3
TD Polynômes et extensions de corps
1. Montrer (par contradiction) que la caractéristique d’un anneau intègre est soit 0soit un entier premier.
2. Soit pun entier premier. On considère le polynôme a:= xp+x∈Zp[x].Déterminer a(α)pour tout
α∈Zp.
3. Donner un exemple où le degré du produit de deux polynômes aet best strictement inférieur à
deg(a) + deg(b).
4. Calculer amod bdans F3, avec a=x4+ 2x3+x+ 2, b =x3−1.
5. Calculer a.a0mod bdans F5, avec a0= 2x2+x+ 2
6. Montrer qu’un idéal propre d’un anneau commutatif Ane peut contenir d’éléments inversibles.
7. Montrer qu’un anneau commutatif est un corps si et seulement si il n’a pas d’idéal propre non nul.
8. Soit αune racine de x3+x2+ 1 ∈F2[x]. Quelles sont les autres racines de ce polynôme (en fonction
de α)?
9. Calculer (x+ 1)(x+ 2)(x2+ 1) dans F3[x]. Montrer que x2+ 1 est irréductible. Construire un corps
de neuf éléments. Soit αun élément de ce corps, calculer α4.
10. Soit f(x) = x4+x+ 1 ∈F2[x]. Soit αune racine de f.
(a) Calculer α5,α6,α7,α8,α9,α10,. . ..
(b) Calculer (α4+α+ 1)2.
(c) Calculer les inverse de α12, α8, α14
(d) Construire le corps F2[x]/(f(x)).
(e) Quel est le polynôme minimal de α3?
(f) Trouver un polynôme binaire de degré 9qui factorise x15 −1.
(g) Combien existe-t-il de polynômes binaires de degré 10 qui factorise x15 −1?
11. Soit fun polynome irréductible primitif dans GF (3).f=x2+2x+2.Factoriser X8−1dans GF (3)[x].
12. (facultatif) Soit fun polynôme irréductible primitif dans Z4.f=x3+ 2x2+x+ 3. Factoriser x7−1
dans Z4[x].
13. On considère le polynôme f=x3+ 2x+ 1 dans F3.
(a) Montrez que fest irréductible dans F3[x].
(b) Quel est le nombre de facteurs irréductibles de x26 −1sur F3? quel est leur degré respectif?
(c) Afin de définir le corps F27, on traduit la représentation polynômiale des éléments du corps en
puissance d’une racine α. La racine est telle que α3+ 2α+ 1 = 0.On a
2α2=α15
α+α2=α10
α+ 2α2=α17
2α=α14
2α+α2=α4
2α+ 2α2=α23
1 + α2=α21
1+2α2=α25
1 + α=α9
2+2α2=α8
2 + α=α3
2 + α+α2=α11
2 + α+ 2α2=α5
2+2α=α22
1

Traduisez en puissances de α:
2+2α+ 1α2
2+2α+ 2α2
2 + α2
1 + α+α2
1 + α+ 2α2
1+2α
1+2α+α2
1+2α+ 2α2
(d) Quel est le polynôme minimal de α, de α2, de α24, de α20?
(e) Quel est l’inverse de α13, l’inverse de 1 + α+α2,l’inverse de 1+2α+α2?
(f) Combien de polynômes de degré 5factorisent-ils x26 −1?
2