École polytechnique Théorie de Galois 2012-2013 Feuille d’exercices 3 On rappelle que si K/k est une extension de corps, et si x ∈ K est algébrique sur k, on note Πx,k ∈ k[X] le polynôme minimal unitaire de x relativement à k. Si L est une autre extension de k, les k-conjugués de x dans L sont les racines de Πx,k dans L. On note conjL/k (x) ⊂ L l’ensemble (fini) de ces conjugués. Exercice 1. (Critère de [Schönemann-]Eisenstein) (i) Soit P = a0 + a1 T + · · · + an T n ∈ Z[T ] un polynôme non constant. Supposons qu’il existe un nombre premier p tel que p divise a0 , a1 , · · · , an−1 , p ne divise pas an , et p2 ne divise pas a0 . Montrer que P est irréductible dans Q[T ]. (On pourra utiliser le lemme de Gauß). (ii) Montrer que pour tout entier n, il existe un polynôme irréductible de degré n dans Q[T ]. Exercice 2. (Extensions quadratiques de Q) √ carré. Déterminer [Q( d) : Q], les Q-conjugués de √ (i) Soit d ∈ Z un entier qui n’est√pas un √ d dans C, ainsi que HomQ−alg (Q( d), Q( d)). √ √ (ii) Soient a, b ∈ Z des non carrés. Montrer que a ∈ Q( b) si et seulement si a/b est le carré d’un nombre rationnel. √ (iii) Montrer que si K/Q est telle que [K : Q] = 2, alors K = Q( d) pour un unique entier non nul d sans facteurs carrés. √ √ Exercice 3. Soit K = Q( 5, 7) ⊂ C. (i) Montrer que [K : Q] = 4 et expliciter une base de K/Q. (ii) Montrer que HomQ−alg (K, K) est isomorphe à Z/2 × Z/2. (iii) Trouver tous les sous-corps de K. (iv) Soit x ∈ K. Donner une condition nécessaire et suffisante sur x pour que Q(x) = K. √ √ (v) Quels sont les Q-conjugués dans K de 5 + 7 ? √ √ (vi) Déterminer les k-conjugués de 5 + 7 dans K pour chacun des sous-corps k trouvés au (iii). Exercice 4. Soient K, L deux extensions d’un corps k. (i) (Rappel de cours) Soit x ∈ K un élément algébrique sur k, de polynôme minimal P ∈ k[X]. Montrer que l’application σ 7→ σ(x) induit une bijection entre l’ensemble des k-plongements de k[x] dans L et l’ensemble des racines de P dans L. On suppose maintenant que L est algébriquement clos. (ii) Soient x, y ∈ K algébriques sur k. Montrer que les k-conjugués de x + y dans L sont de la forme x0 + y 0 où x0 et y 0 sont des k-conjugués respectifs de x et y dans L. Est-ce que réciproquement tous les tels x0 + y 0 sont des k-conjugués de x + y ? (iii) Soit x ∈ L algébrique sur k, et L0 ⊂ L le sous-corps engendré par k et les k-conjugués de x dans L. Montrer que L0 est une extension finie de k, puis que pour tout y ∈ L0 , conjL/k (y) ⊂ L0 . 1 Exercice 5. Soit P un polynôme irréductible dans k[X] de degré d, et L son corps de décomposition dans une clôture algébrique fixée de k. (i) Montrer que [L : k] ≤ d!. À quelle condition a-t-on égalité ? (ii) Donner un exemple du cas d’égalité avec d = 3. Exercice 6. Soit K un extension de k de degré n, et soit P ∈ k[X] un polynôme irréductible de degré m. (i) Montrer que si m ne divise pas n, le polynôme P n’a pas de racines dans K. (ii) Montrer que si n et m sont premiers entre eux, le polynôme P est irréductible dans K[X]. Exercice 7. (Polynômes cyclotomiques pour p premier) Soit p un nombre premier. (i) Montrer que Φp (X) = X p−1 + · · · + X + 1 est irréductible dans Q[X]. (On pourra considérer le polynôme Φp (X + 1).) (ii) En déduire la valeur de [Q[e2iπ/p ] : Q] puis celle de [Q[cos(2π/p)] : Q]. Exercice 8. Soit k un corps et notons L = k(T ) le corps des fonctions rationnelles en une variable T . Soient P, Q ∈ k[T ] des polynômes irréductibles premiers entre eux. On pose U = P (T )/Q(T ) ∈ k(T ) et K le sous-corps k(U ) de L. (i) Montrer que T est algébrique sur K et déterminer son polynôme minimal. (ii) En déduire que L est une extension algébrique de K et calculer son degré en fonction de ceux de P et Q. (iii) En déduire que le groupe Autk−alg (k(T )) est isomorphe à PGL2 (k). Exercice 9. Soit L/k une extension algébrique. Montrer que si k est dénombrable, il en va de même de L. En déduire que les nombres complexes transcendants forment un ensemble non dénombrable (en particulier non vide). 2