École polytechnique 2012-2013 Théorie de Galois On rappelle que

École polytechnique 2012-2013
Théorie de Galois
Feuille d’exercices 3
On rappelle que si K/k est une extension de corps, et si x∈Kest algébrique sur k, on note
Πx,k ∈k[X]le polynôme minimal unitaire de xrelativement à k. Si Lest une autre extension
de k, les k-conjugués de xdans Lsont les racines de Πx,k dans L. On note conjL/k(x)⊂L
l’ensemble (fini) de ces conjugués.
Exercice 1. (Critère de [Schönemann-]Eisenstein)
(i) Soit P=a0+a1T+··· +anTn∈Z[T]un polynôme non constant. Supposons qu’il existe
un nombre premier ptel que pdivise a0, a1,··· , an−1,pne divise pas an, et p2ne divise pas a0.
Montrer que Pest irréductible dans Q[T]. (On pourra utiliser le lemme de Gauß).
(ii) Montrer que pour tout entier n, il existe un polynôme irréductible de degré ndans Q[T].
Exercice 2. (Extensions quadratiques de Q)
(i) Soit d∈Zun entier qui n’est pas un carré. Déterminer [Q(√d) : Q], les Q-conjugués de
√ddans C, ainsi que HomQ−alg(Q(√d),Q(√d)).
(ii) Soient a, b ∈Zdes non carrés. Montrer que √a∈Q(√b)si et seulement si a/b est le
carré d’un nombre rationnel.
(iii) Montrer que si K/Qest telle que [K:Q] = 2, alors K=Q(√d)pour un unique entier
non nul dsans facteurs carrés.
Exercice 3. Soit K=Q(√5,√7) ⊂C.
(i) Montrer que [K:Q]=4et expliciter une base de K/Q.
(ii) Montrer que HomQ−alg(K, K)est isomorphe à Z/2×Z/2.
(iii) Trouver tous les sous-corps de K.
(iv) Soit x∈K. Donner une condition nécessaire et suffisante sur xpour que Q(x) = K.
(v) Quels sont les Q-conjugués dans Kde √5 + √7?
(vi) Déterminer les k-conjugués de √5 + √7dans Kpour chacun des sous-corps ktrouvés
au (iii).
Exercice 4. Soient K, L deux extensions d’un corps k.
(i) (Rappel de cours) Soit x∈Kun élément algébrique sur k, de polynôme minimal P∈k[X].
Montrer que l’application σ7→ σ(x)induit une bijection entre l’ensemble des k-plongements de
k[x]dans Let l’ensemble des racines de Pdans L.
On suppose maintenant que Lest algébriquement clos.
(ii) Soient x, y ∈Kalgébriques sur k. Montrer que les k-conjugués de x+ydans Lsont
de la forme x0+y0où x0et y0sont des k-conjugués respectifs de xet ydans L. Est-ce que
réciproquement tous les tels x0+y0sont des k-conjugués de x+y?
(iii) Soit x∈Lalgébrique sur k, et L0⊂Lle sous-corps engendré par ket les k-conjugués de
xdans L. Montrer que L0est une extension finie de k, puis que pour tout y∈L0,conjL/k(y)⊂L0.
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Exercice 5. Soit Pun polynôme irréductible dans k[X]de degré d, et Lson corps de décomposition dans
une clôture algébrique fixée de k.
(i) Montrer que [L:k]≤d!. À quelle condition a-t-on égalité ?
(ii) Donner un exemple du cas d’égalité avec d= 3.
Exercice 6. Soit Kun extension de kde degré n, et soit P∈k[X]un polynôme irréductible de degré m.
(i) Montrer que si mne divise pas n, le polynôme Pn’a pas de racines dans K.
(ii) Montrer que si net msont premiers entre eux, le polynôme Pest irréductible dans K[X].
Exercice 7. (Polynômes cyclotomiques pour ppremier) Soit pun nombre premier.
(i) Montrer que Φp(X) = Xp−1+···+X+1 est irréductible dans Q[X]. (On pourra considérer
le polynôme Φp(X+ 1).)
(ii) En déduire la valeur de [Q[e2iπ/p] : Q]puis celle de [Q[cos(2π/p)] : Q].
Exercice 8. Soit kun corps et notons L=k(T)le corps des fonctions rationnelles en une variable T. Soient
P, Q ∈k[T]des polynômes irréductibles premiers entre eux. On pose U=P(T)/Q(T)∈k(T)et
Kle sous-corps k(U)de L.
(i) Montrer que Test algébrique sur Ket déterminer son polynôme minimal.
(ii) En déduire que Lest une extension algébrique de Ket calculer son degré en fonction de
ceux de Pet Q.
(iii) En déduire que le groupe Autk−alg(k(T)) est isomorphe à PGL2(k).
Exercice 9. Soit L/k une extension algébrique. Montrer que si kest dénombrable, il en va de même de
L. En déduire que les nombres complexes transcendants forment un ensemble non dénombrable
(en particulier non vide).
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