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Université François Rabelais de Tours Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique Interrogation n◦1, durée 1h UE 6-3 Algèbre Semestre 6 Les deux exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction. Toute affirmation doit être justifiée. Le barème est indicatif. Exercice 1. (12 points) Soit A un anneau commutatif unitaire. On supposera connues les propriétés des groupes et des sous-groupes. 1) Rappeler la définition d’un idéal de A. 2) Soient I et J deux idéaux de A. Montrer que I ∩ J est un idéal de A. 3) Dans cette question, on suppose que A est intègre. (a) Rappeler la définition d’anneau intègre. (b) Soient a, b ∈ A. On suppose que a | b et que b | a. Montrer qu’il existe u ∈ U(A) tel que a = ub. On suppose dorénavant que A = K[X] où K est un corps. Soient P, Q ∈ K[X] deux polynômes non nuls et soit M ∈ K[X] tels que (P ) ∩ (Q) = (M ). 4) Montrer que M vérifie les deux conditions suivantes : m1. P | M et Q | M m2. Si P | C et Q | C alors M | C 5) Montrer qu’il existe un unique polynôme unitaire D tel que (P ) ∩ (Q) = (M ). Ce polynôme s’appelle le plus petit commun multiple de P et Q et se note ppcm(P, Q). 6) Soient P = (X 2 + 1) · (X − 1)2 · X et Q = (X − 1) · (X − 2) · X 2 deux polynômes de R[X]. Calculer ppcm(P, Q). Exercice 2. (8 points) Soient K un corps et soit α ∈ K. On rappelle que A≡B mod P ⇐⇒ P | A − B. 1) Montrer que (X − α) | A ⇐⇒ A(α) = 0. 2) Montrer que A ≡ B mod (X − α) si et seulement si A(α) = B(α). 3) Soient P un polynôme de degré 2 ou 3. Montrer que si P n’admet pas de racine dans K, alors P est irréductible dans K[X]. 4) Trouver un contre exemple à l’implication suivante : Si P ∈ K[X] n’admet pas de racine dans K alors P est irréductible. 1
