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Université François Rabelais de Tours
Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique
Interrogation n◦1, durée 1h
UE 6-3 Algèbre Semestre 6
Les deux exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction. Toute affir-
mation doit être justifiée. Le barème est indicatif.
Exercice 1. (12 points) Soit Aun anneau commutatif unitaire. On supposera connues les propriétés des
groupes et des sous-groupes.
1) Rappeler la définition d’un idéal de A.
2) Soient Iet Jdeux idéaux de A. Montrer que I∩Jest un idéal de A.
3) Dans cette question, on suppose que Aest intègre.
(a) Rappeler la définition d’anneau intègre.
(b) Soient a, b ∈A. On suppose que a|bet que b|a. Montrer qu’il existe u∈U(A)tel que a=ub.
On suppose dorénavant que A=K[X]où Kest un corps. Soient P, Q ∈K[X]deux polynômes non nuls et
soit M∈K[X]tels que
(P)∩(Q) = (M).
4) Montrer que Mvérifie les deux conditions suivantes :
m1. P|Met Q|M
m2. Si P|Cet Q|Calors M|C
5) Montrer qu’il existe un unique polynôme unitaire Dtel que (P)∩(Q) = (M). Ce polynôme s’appelle
le plus petit commun multiple de Pet Qet se note ppcm(P, Q).
6) Soient P= (X2+ 1) ·(X−1)2·Xet Q= (X−1) ·(X−2) ·X2deux polynômes de R[X]. Calculer
ppcm(P, Q).
Exercice 2. (8 points) Soient Kun corps et soit α∈K. On rappelle que
A≡Bmod P⇐⇒ P|A−B.
1) Montrer que (X−α)|A⇐⇒ A(α) = 0.
2) Montrer que A≡Bmod (X−α)si et seulement si A(α) = B(α).
3) Soient Pun polynôme de degré 2 ou 3. Montrer que si Pn’admet pas de racine dans K, alors Pest
irréductible dans K[X].
4) Trouver un contre exemple à l’implication suivante :
Si P∈K[X]n’admet pas de racine dans Kalors Pest irréductible.
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