Analyse TD 3 1 Fonctions dérivables - IMJ-PRG

Analyse TD 3
J. Rocher
Avril 2006
1 Fonctions dérivables
1.1
Calculs sur des exemples
1. Étudiez la dérivabilité des fonctions suivantes :
√
|x| x2 − 2x + 1
f (x) =
si x 6= 1, f (1) = 1
x−1
x
f (x) =
1 + |x|
1
f (x) = x cos( ) si x 6= 0, f (0) = 0
x
1
f (x) = sin x sin( ) si x 6= 0, f (0) = 0
x
2
2. Calculez les dérivées de :
f (x) =
1
p
f (x) = (x(x − 3)) 3
1 + x2 sin2 x!
1 + sin x
f (x) = log
1 − sin x
!
x2 − 1
f (x) = ln cos(π + 2
)
x +1
3. Étudiez les fonctions suivantes (domaine, variations, extrema, branches asymptotiques...) :
f (x) =
ln x
x
f (x) = sh x − x −
1.2
f (x) = cos x − 1 + x2
f (x) = x4 − x3 + 1
1 + xn
f (x) =
, où n ≥ 2, x > 0.
(1 + x)n
x3
6
Autres exercices
1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2 ; soit a et b deux réels. Montrer que le polynôme X n + aX + b a
au plus trois racines réelles.
∗
2. Montrer que la fonction f dénie sur R par :
(
− 1
e 1−x2
f (x) =
0
est de classe C ∞ .
1
Indication : on pourra d'abord étudier
φ : x 7→ e− x
en
1
0+ .
si |x| < 1
sinon
3. On rappelle la formule
produit f g aussi, et
de Leibniz
(la redémontrer) : si f et g sont deux fonctions n fois dérivables, leur
(f g)(n) =
n
X
n
k
f (k) g (n−k) .
k=0
Calculez la dérivée d'ordre n de xn (1 − x)n . Déduisez-en la valeur de
n
X
n 2
k .
k=0
2 Théorèmes de Rolle et des accroissements nis : applications
1. Soit P un polynôme à coecients réels, de degré n, possédant n racines réelles distinctes. Montrer que
P 0 a n − 1 racines réelles distinctes.
2. Soit f : [a, +∞[→ R continue, dérivable sur ]a, +∞[, telle que lim f (x) = f (a). Montrer que : ∃x0 ∈
x→∞
]a, + ∞[, f 0 (x0 ) = 0.
3. Soit f continue, deux fois dérivable sur [a, a + 2h]. Montrer qu'il existe α dans ]0, 2[ tel que
f (a + 2h) − 2f (a + h) + f (a) = h2 f 00 (a + αh).
(On pourra par exemple introduire la fonction
g(t) = f (a + t + h) − f (a + t)...)
4. On pose pour n ∈ N :
1 dn
(x2 − 1)n .
n
n
2 n! dx
a) Calculer le degré et la parité du polynôme Pn .
Pn =
b) Calculer Pn (1) et Pn (−1).
c) Montrer que Pn a n racines distinctes dans ] − 1, 1[.
2