Algèbre

MP 2∗2016/2017 Travaux dirigés du 30/11/2016
Algèbre
Exercice 1: Si une loi sur un ensemble possède un élément neutre il est unique.
Exercice 2: Dans un groupe le symétrique est unique.
Exercice 3: Soit a∈R∗
+, on pose pour h∈R
Mh=
ah0 0
0 1 h
0 0 1
Montrer que Ga={Mh, h ∈R}est un sous-groupe de GL3(R)isomorphe à (R,+).
Exercice 4:
1) nétant un entier au moins égal à 2, résoudre le système :
x1+x2=b1, x2+x3=b2, . . . xn−1+xn=bn−1, xn+x1=bn.
2) Peut-on construire un polygône à nsommets dans le plan, en connaissant les milieux de ses côtés ? On
pourra commencer par étudier les cas n= 3 et n= 4.
Exercice 5: Montrer que l’ensemble des matrices de M3(R)de la forme
1x y
0 1 z
0 0 1
.
est un sous groupe de GL3(R). Déterminer son centre.
Exercice 6: Si Eest un ensemble , on définit sur P(E)une loi ∆par A∆B=A∪B−A∩B. Montrer
que (P(E),∆) est un groupe commutatif.
Indication : Pour établir l’associativité, décrire en français la condition que doit vérifier xpour être élément
de A∆B, puis de (A∆B)∆C.
Exercice 7: Décomposer en éléments simples dans C(X)la fraction rationnelle
F(X) = Xq−1
1 + X2p
où pet qsont deux entiers tels que q−1<2p.
Exercice 8: Montrer que le nombre Hn= 1 + 1
2+· · · +1 nn’est jamais un entier pour n≥2.
Indication : Par récurrence ! Examiner la plus grande puissance de 2divisant le dénominateur.
Exercice 9:
1) Montrer l’existence d’un polynôme Pn∈Rn[X]vérifiant
∀θ∈]0,π
2[Pn1 tan2θ=sin((2n+ 1)θ) (sin θ)2n+1 .
2) Quelles sont les racines de Pn? Que vaut leur somme.
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