Devoir maison 4

Devoir maison 4
Espaces vectoriels normés.
Problème - PT - 2007
Soit (Tk)la suite de polynôme définie par T0=1,T1=Xet :
∀k∈N, Tk+1=2XTk−Tk−1
Dans tout le problème ndésigne un entier naturel.
Partie A
1. Déterminer les polynômes T2,T3et T4
2. Quel est le degré de Tn, et son coefficient dominant ?
3. Étudier la parité de Tn
4. Calculer Tn(1),Tn(−1)et Tn(0).
5. Montrer que Tnest le seul polynôme vififiant :
∀θ∈R, Tn(cos(θ)) =cos(nθ)
6. Dans cette question uniquement, on suppose nnon nul.
a) Déterminer les racines de Tndans [−1,1].
b) Déterminer les racines de Tndans C.
7. Déterminer les racines de T′
n(polynôme dérivé de Tn) dans C.
Partie B
Soit P=∑n
k=0akXk. On définit les applications Let Nde R[X]dans R+par :
L(P)=Max
x∈[0,1]∣P(t)∣ N(P)=Max k∈[[0,n]]∣ak∣
On considère enfin l’application ϕde R[X]2vers Rdéfinie par :
∀P, Q ∈R[X], ϕ(P, Q)=1
−1
P(t)Q(t)
√1−t2dt
1. Montrer que Let Nsont des normes.
1

2. Montrer qu’il existe αnet γntels que :
∀P∈Rn[X], αnN(P)≤L(P)≤γnN(P)
La suite de cette partie a comme objectif de calculer une valeur possible de αnet de γn.
3. a) Montrer que γn=n+1convient.
b) Donner un exemple de polynôme Qnde Rn[X]non nul tel que :
L(Qn)=(n+1)N(Qn)
4. Calculer L(Tn)
5. a) Montrer que pour tous polynômes Pet Qde R[X], l’intégrale ∫1
−1
P(t)Q(t)
√1−t2dt converge.
b) Montrer que φest un produit scalaire.
c) Montrer que pour tous polynômes Pet Qde R[X]:ϕ(P, Q)=∫π
0P(cos(θ))Q(cos(θ))dt.
6. Pour tous met nde N, calculer φ(Tn, Tm).
7. Soit P dans Rn[X] , montrer qu’il existe un unique (n+ 1 ) -uplet (α0,...,αn) dans Rn+1 tel que :
P=n
k=0
αkTk
Vérifier alors que pour tout entier kdans {1,...,n}, on a :
N(Tn+1)≤2N(Tn)+N(Tn−1)
8. On pose q=1+√2. Montrer que :
∀n∈N, N(Tn)≤qn
9. En déduire que l’on a : ∀P∈Rn[X],1
qn+1√2N(P)≤L(P)
10. Étudier si dans R[X], les normes Let Nsont équivalentes.
Partie C
On définit l’application de Rn[X]dans lui-même par :
∀P∈Rn[X], φ(P)=(X2−1)P′′ +XP ′
1. Montrer que φest un endomorphisme de Rn[X].
2. Déterminer la matrice de φdans :
a) la base (1, X, X2,...,Xn).
b) la base (T0, T1,...,Tn).
3. Déterminer une base du noyau et de l’image de φ.
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