Devoir maison 4

Devoir maison 4
Espaces vectoriels normés.
Problème - PT - 2007
Soit (Tk ) la suite de polynôme définie par T0 = 1, T1 = X et :
∀k ∈ N, Tk+1 = 2XTk − Tk−1
Dans tout le problème n désigne un entier naturel.
Partie A
1. Déterminer les polynômes T2 , T3 et T4
2. Quel est le degré de Tn , et son coefficient dominant ?
3. Étudier la parité de Tn
4. Calculer Tn (1), Tn (−1) et Tn (0).
5. Montrer que Tn est le seul polynôme vififiant :
∀θ ∈ R, Tn (cos(θ)) = cos(nθ)
6. Dans cette question uniquement, on suppose n non nul.
a) Déterminer les racines de Tn dans [−1, 1].
b) Déterminer les racines de Tn dans C.
7. Déterminer les racines de Tn′ (polynôme dérivé de Tn ) dans C.
Partie B
Soit P = ∑nk=0 ak X k . On définit les applications L et N de R[X] dans R+ par :
L(P ) = M ax ∣P (t)∣
N (P ) = M ax ∣ak ∣
k∈[[0,n]]
x∈[0,1]
On considère enfin l’application ϕ de R[X]2 vers R définie par :
∀P, Q ∈ R[X], ϕ(P, Q) = ∫
1. Montrer que L et N sont des normes.
1
1
−1
P (t)Q(t)
√
dt
1 − t2
2. Montrer qu’il existe αn et γn tels que :
∀P ∈ Rn [X], αn N (P ) ≤ L(P ) ≤ γn N (P )
La suite de cette partie a comme objectif de calculer une valeur possible de αn et de γn .
3. a) Montrer que γn = n + 1 convient.
b) Donner un exemple de polynôme Qn de Rn [X] non nul tel que :
L(Qn ) = (n + 1)N (Qn )
4. Calculer L(Tn )
1 P (t)Q(t)
√
dt
1−t2
5. a) Montrer que pour tous polynômes P et Q de R[X], l’intégrale ∫−1
converge.
b) Montrer que φ est un produit scalaire.
π
c) Montrer que pour tous polynômes P et Q de R[X] : ϕ(P, Q) = ∫0 P (cos(θ))Q(cos(θ))dt.
6. Pour tous m et n de N, calculer φ(Tn , Tm ).
7. Soit P dans Rn [X], montrer qu’il existe un unique (n + 1)-uplet (α0 , . . . , αn ) dans Rn+1 tel que :
n
P = ∑ αk Tk
k=0
Vérifier alors que pour tout entier k dans {1, . . . , n}, on a :
N (Tn+1 ) ≤ 2N (Tn ) + N (Tn−1 )
8. On pose q = 1 +
√
2. Montrer que :
∀n ∈ N, N (Tn ) ≤ q n
9. En déduire que l’on a :
∀P ∈ Rn [X],
1
√ N (P ) ≤ L(P )
2
q n+1
10. Étudier si dans R[X], les normes L et N sont équivalentes.
Partie C
On définit l’application de Rn [X] dans lui-même par :
∀P ∈ Rn [X], φ(P ) = (X2 − 1)P ′′ + XP ′
1. Montrer que φ est un endomorphisme de Rn [X].
2. Déterminer la matrice de φ dans :
a) la base (1, X, X 2 , . . . , X n ).
b) la base (T0 , T1 , . . . , Tn ).
3. Déterminer une base du noyau et de l’image de φ.
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