Dérivation - Lionel chaussade

MPSI2 D´erivation 2016-2017
D´erivabilit´e - Calculs de d´eriv´ees
1Soit f:R→Rune fonction d´erivable en a∈R. Etudier lim
x→a
xf(a)−af(x)
x−a.
2Calculer de deux fa¸cons la d´eriv´ee n-i`eme de x7→ x2n. En d´eduire une expression de
n
X
k=0 n
k2
.
3Soit f:R→Rd´efinie par f(x) = ex√3sin x. Montrer que :
∀x∈R,∀n∈N, f(n)(x)=2nex√3sin x+nπ
6
4♥Calculer la d´eriv´ee n-i`eme de f:x7→ x2(1 + x)net de g:x7→ (x2+ 1)ex.
5♥FDonner l’ensemble de d´efinition et ´etudier la d´erivabilit´e de :
a) x7→ px2−x3b) x7→ (x2−1)Arccos(x2) c) x7→ x|x|d) x7→ x
|x|+ 1
6FF Soit fd´efinie sur [0,1[ par f(x) = 1
√1−x2. D´emontrer que :
∀x∈[0,1[,∀n∈N, f(n)(x)≥0
Applications de la d´erivation
7FSoit p∈]0,1].
a) Montrer que pour tout t≥0, on a : (1 + t)p≤1 + tp.
b) En d´eduire que pour tout (x, y)∈(R+)2, (x+y)p≤xp+yp.
8FSoit f: [0,+∞[→Rde classe C1telle que f(0) = −1 et lim
x→+∞f(x)=+∞. Montrer que si fs’annule au moins
2 fois alors f0s’annule au moins 2 fois.
9FSoit f:h0,π
2i→Rd´efinie par f(x) = √sin x+x. Justifier que fr´ealise une bijection vers un intervalle `a pr´eciser.
Montrer que f−1est continue et d´erivable sur cet intervalle.
10 FFF D´eterminer les fonctions f∈ C1(R,R) v´erifiant f◦f=f.
11 FFF a) Soit fd´efinie sur Ret d´erivable en 0 et v´erifiant f(0) = 0. D´eterminer lim
n→+∞
n
X
k=0
fk
n2, en d´eduire
l’existence et la valeur de lim
n→+∞
n
Y
k=0 1 + k
n2
b) D´eterminer de mˆeme lim
n→+∞
n
Y
k=0 1−k2
n3.
12 FFF Soit fd´erivable sur Rtelle que lim
x→+∞f(x) + f0(x) = l∈R. Montrer que lim x→+∞f(x) = l.
Th´eor`eme de Rolle
13 Soit a > 0 et fune fonction continue sur [0, a] et d´erivable sur ]0, a]. On suppose f(0) = 0 et f(a)f0(a)<0.
Montrer qu’il existe c∈]0, a[ tel que f0(c) = 0.
14 FSoit a > 0 et f: [0, a]→Rune fonction d´erivable telle que f(0) = f(a) = 0 et f0(0) = 0.
a) Montrer que la d´eriv´ee de x7→ f(x)/x s’annule sur ]0, a[.
b) En d´eduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente `a fpasse par l’origine.
1 Chapitre 14

MPSI2 D´erivation 2016-2017
15 FSoit f: [a, b]→Rd´erivable v´erifiant f(a) = f(b) = 0 et f0(a)>0, f 0(b)>0. Montrer qu’il existe
(c1, c2, c3)∈]a, b[3tels que c1< c2< c3et f0(c1) = f(c2) = f0(c3) = 0.
16 ♥FSoient n∈N, (a, b)∈R2tels que a<bet f: [a, b]→Rune fonction nfois d´erivable. Montrer que si pour
tout i∈J0, n −1K, f(i)(a) = 0 et f(b) = 0 alors il existe c∈]a, b] tel que f(n)(c) = 0.
17 FF Soit (a, b, c)∈R3. Montrer qu’il existe x∈]0,1[ tel que 4ax3+ 3bx2+ 2cx =a+b+c.
18 FF Soit n∈Net f:I→Rune application de classe Cns’annulant en n+ 1 points distincts de I.
a) Montrer que la d´eriv´ee n-i`eme de fs’annule au moins une fois sur I.
b) Soit αun r´eel. Montrer que la d´eriv´ee (n−1)-i`eme de f0+αf s’annule au moins une fois sur I.
19 FF Soit f:R→Rd´erivable telle que lim
x→−∞ f(x) = lim x→+∞f(x) = +∞. Montrer qu’il existe c∈Rtel que f0(c) = 0.
20 FF Soit f: [0,+∞[→Rune fonction d´erivable telle que lim
x→+∞f(x) = f(0).
Montrer qu’il existe c > 0 tel que f0(c) = 0.
21 FF (R`egle de L’Hˆopital) Soient f, g : [a, b]→Rdeux fonctions d´erivables. On suppose que ∀x∈[a, b], g0(x)6= 0.
a) Montrer que g(a)6=g(b).
b) Montrer qu’il existe c∈]a, b[ tel que f(b)−f(a)
g(b)−g(a)=f0(c) g0(c).
22 FF (Th´eor`eme de Darboux). Soit fune fonction d´erivable sur un intervalle I.
a) Soient (a, b)∈I2tels que f0(a)>0 et f0(b)<0. D´emontrer qu’il existe centre aet btel que f0(c) = 0.
b) D´emontrer que f0(I) est un intervalle.
23 FF Soit Pune fonction polynomiale, montrer que l’´equation P(x) = exn’a qu’un nombre fini de solutions sur R.
Th´eor`eme des accroissements finis et prolongement
24 ♥Montrer que la fonction f:R+→Rd´efinie par : f(x) = x2ln xsi x6= 0
0 si x= 0 est de classe C1sur R+.
25 FSoit n∈N, montrer que la fonction fn:x7→ xn+1 si x>0
0 sinon est de classe Cnsur R.
26 FSoit f:R→Rune fonction d´erivable. Montrer que : ∀x > 0,∃c > 0, f(x)−f(−x) = x(f0(c) + f0(−c)).
27 FF `
A l’aide du th´eor`eme des accroissements finis d´eterminer lim
x→+∞(x+ 1)e 1
x+1 −xe1
x.
28 FF Soit f: ]0,1] →Rd´erivable. On suppose de f(x)→let xf0(x)→l0quand x→0. Montrer que l0= 0.
29 ♥FF Soit fune fonction de classe C2sur [a, a + 2h] (avec a∈Ret h > 0). Montrer qu’il existe c∈]a, a + 2h[
tel que f(a+ 2h)−2f(a+h) + f(a) = h2f00(c).
2 Chapitre 14