Dérivation - Lionel chaussade

Dérivation
MPSI2
2016-2017
Dérivabilité - Calculs de dérivées
1 Soit f : R → R une fonction dérivable en a ∈ R. Etudier lim xf (a) − af (x) .
x→a
x−a
2 Calculer de deux façons la dérivée n-ième de x 7→ x2n . En déduire une expression de
n 2
X
n
k=0
3 Soit f : R → R définie par f (x) = ex
√
3
k
.
sin x. Montrer que :
∀x ∈ R, ∀n ∈ N, f (n) (x) = 2n ex
√
3
nπ sin x +
6
4 ♥ Calculer la dérivée n-ième de f : x 7→ x2 (1 + x)n et de g : x 7→ (x2 + 1)ex .
5 ♥F Donner l’ensemble de définition et étudier la dérivabilité de :
p
a) x 7→ x2 − x3 b) x 7→ (x2 − 1)Arccos(x2 ) c) x 7→ x|x| d) x 7→
x
|x| + 1
6 FF Soit f définie sur [0, 1[ par f (x) = √ 1
. Démontrer que :
1 − x2
∀x ∈ [0, 1[, ∀n ∈ N, f (n) (x) ≥ 0
Applications de la dérivation
7 F Soit p ∈]0, 1].
a) Montrer que pour tout t ≥ 0, on a : (1 + t)p ≤ 1 + tp .
b) En déduire que pour tout (x, y) ∈ (R+ )2 , (x + y)p ≤ xp + y p .
8 F Soit f : [0, +∞[→ R de classe C 1 telle que f (0) = −1 et lim f (x) = +∞. Montrer que si f s’annule au moins
x→+∞
2 fois alors f 0 s’annule au moins 2 fois.
h
i
9 F Soit f : 0, π → R définie par f (x) = √sin x + x. Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser.
2
Montrer que f −1 est continue et dérivable sur cet intervalle.
10 FFF Déterminer les fonctions f ∈ C 1 (R, R) vérifiant f ◦ f = f .
n
k
X
f 2 , en déduire
n→+∞
n
11 FFF a) Soit f définie sur R et dérivable en 0 et vérifiant f (0) = 0. Déterminer lim
k=0
n Y
k
l’existence et la valeur de lim
1+ 2
n→+∞
n
k=0
n Y
k2 b) Déterminer de même lim
1− 3 .
n→+∞
n
k=0
12 FFF Soit f dérivable sur R telle que lim f (x) + f 0 (x) = l ∈ R. Montrer que lim f (x) = l.
x→+∞
x→+∞
Théorème de Rolle
13 Soit a > 0 et f une fonction continue sur [0, a] et dérivable sur ]0, a]. On suppose f (0) = 0 et f (a)f 0 (a) < 0.
Montrer qu’il existe c ∈ ]0, a[ tel que f 0 (c) = 0.
14 F Soit a > 0 et f : [0, a] → R une fonction dérivable telle que f (0) = f (a) = 0 et f 0 (0) = 0.
a) Montrer que la dérivée de x 7→ f (x)/x s’annule sur ]0, a[.
b) En déduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à f passe par l’origine.
1
Chapitre 14
MPSI2
Dérivation
2016-2017
15 F Soit f : [a, b] → R dérivable vérifiant f (a) = f (b) = 0 et f 0 (a) > 0, f 0 (b) > 0. Montrer qu’il existe
3
(c1 , c2 , c3 ) ∈ ]a, b[ tels que c1 < c2 < c3 et f 0 (c1 ) = f (c2 ) = f 0 (c3 ) = 0.
16 ♥F Soient n ∈ N, (a, b) ∈ R2 tels que a < b et f : [a, b] → R une fonction n fois dérivable. Montrer que si pour
tout i ∈ J0, n − 1K, f (i) (a) = 0 et f (b) = 0 alors il existe c ∈ ]a, b] tel que f (n) (c) = 0.
17 FF Soit (a, b, c) ∈ R3 . Montrer qu’il existe x ∈ ]0, 1[ tel que 4ax3 + 3bx2 + 2cx = a + b + c.
18 FF Soit n ∈ N et f : I → R une application de classe C n s’annulant en n + 1 points distincts de I.
a) Montrer que la dérivée n-ième de f s’annule au moins une fois sur I.
b) Soit α un réel. Montrer que la dérivée (n − 1)-ième de f 0 + αf s’annule au moins une fois sur I.
19 FF Soit f : R → R dérivable telle que lim f (x) = lim f (x) = +∞. Montrer qu’il existe c ∈ R tel que f 0 (c) = 0.
x→−∞
x→+∞
20 FF Soit f : [0, +∞[ → R une fonction dérivable telle que lim f (x) = f (0).
x→+∞
Montrer qu’il existe c > 0 tel que f 0 (c) = 0.
21 FF (Règle de L’Hôpital) Soient f, g : [a, b] → R deux fonctions dérivables. On suppose que ∀x ∈ [a, b] , g 0 (x) 6= 0.
a) Montrer que g(a) 6= g(b).
f 0 (c)
f (b) − f (a)
= 0 .
b) Montrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que
g(b) − g(a)
g (c)
22 FF (Théorème de Darboux). Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
a) Soient (a, b) ∈ I 2 tels que f 0 (a) > 0 et f 0 (b) < 0. Démontrer qu’il existe c entre a et b tel que f 0 (c) = 0.
b) Démontrer que f 0 (I) est un intervalle.
23 FF Soit P une fonction polynomiale, montrer que l’équation P (x) = ex n’a qu’un nombre fini de solutions sur R.
Théorème des accroissements finis et prolongement
24 ♥ Montrer que la fonction f : R → R définie par : f (x) =
+
25 F Soit n ∈ N, montrer que la fonction f : x 7→
n
xn+1
0
x2 ln x si x 6= 0
est de classe C 1 sur R+ .
0
si x = 0
si x > 0
est de classe C n sur R.
sinon
26 F Soit f : R → R une fonction dérivable. Montrer que : ∀x > 0, ∃c > 0, f (x) − f (−x) = x(f 0 (c) + f 0 (−c)).
27 FF À l’aide du théorème des accroissements finis déterminer lim
x→+∞
1
1
(x + 1)e x+1 − xe x .
28 FF Soit f : ]0, 1] → R dérivable. On suppose de f (x) → l et xf 0 (x) → l0 quand x → 0. Montrer que l0 = 0.
29 ♥FF Soit f une fonction de classe C 2 sur [a, a + 2h] (avec a ∈ R et h > 0). Montrer qu’il existe c ∈ ]a, a + 2h[
tel que f (a + 2h) − 2f (a + h) + f (a) = h2 f 00 (c).
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Chapitre 14