Série 4

D´epartement de Math´ematiques
Universit´e de Fribourg
Semestre d’automne 2016
Stefan Wenger, Theo B¨uhler
Analyse I
S´erie 4
`a remettre jusqu’au lundi 24 octobre `a 10:00 dans le casier entre les
bureaux 2.55 et 2.56 du bˆatiment de physique
Exercice 14. Soient m∈Net r∈Rtel que |r|<1, et soit (an)n∈Nla suite donn´ee par
an:= nmrn. Montrer:
(a) Il existe n1∈Ntel que la suite (|an|)n≥n1est d´ecroissante.
(b) Utiliser (a) pour montrer que la suite (an) converge vers 0. Indication: Montrer que la
suite bn=n|an|est born´ee.
Exercice 15. Calculer les six premi`eres d´ecimales de √7.
Exercice 16. Soit (an)n∈N⊆Rune suite de nombres r´eels. On d´efinit la suite (mn) des
moyennes par
mn=1
n+ 1
n
X
k=0
akpour tout n≥0.
(a) Montrer que si la suite (an) est convergente, alors la suite (mn) est convergente et
lim
n→∞ an= lim n→∞ mn.
(b) Trouver une suite (an) avec an∈ {0,1}pour tout n, telle que lim
n→∞ mn=1
3.
(c) Trouver une suite non-born´ee (an) telle que (mn) est convergente.
Exercice 17. Pour chaque suite (an)n≥1ci-dessous d´ecider si elle converge et trouver sa limite,
le cas ´ech´eant.
(a) an:= 1 + 1
√nn
;
(b) an:= 1 + 1
n2n;
(c) an:= (n!) 1
n.