Fiche méthode pour étudier la continuité d`une fonction

Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
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COMMENT ETUDIER LA CONTINUITE
D’UNE FONCTION NUMERIQUE ?
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit que f est continue en a si et seulement si
lim ( ) ( )
xa
f
xfa
→=. On dit que f est continue sur I si et seulement si elle est continue en tout point a de I.
Graphiquement cela signifie que sa courbe peut se tracer d’un trait continu, « sans lever le crayon »
1) Si on dispose de sa représentation graphique,
Il suffit de regarder si sa courbe peut se tracer d’un trait continu, « sans lever le crayon ».
Exemples de fonctions non continues : Exemple de fonction continue
2) Si on dispose de l’expression de la fonction
On doit s’assurer que la fonction est définie en a (condition nécessaire) et que la limite en a de
()
f
x est égale à
(
)
f
a.
Les raisons pour lesquelles ce n’est pas le cas peuvent être :
- limites différentes à gauche et à droite de a - non existence de la limite - valeur différente de
(
)
f
a
Par ailleurs,
- Toutes les fonctions obtenues par opérations ou composition des fonctions usuelles sont continues sur chacun des
intervalles où elles sont définies
- Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cette intervalle
1) Soit f la fonction définie sur \ par
()
21 si 0
1 si 0
xx
fx
xx
−
<
=
−
≥
(cas d’une fonction définie à l’aide de 2 expressions)
La fonction
f
est continue sur en tant que fonction polynôme et sur
]
;0−∞
[
[
[
0;
+
∞ en tant que fonction affine.
On ne peut cependant pas encore conclure concernant la continuité sur . \
On examine et
()
2
00
00
lim lim 1 1
xx
xx
fx x
→→
<<
=−=−
(
)
00
00
lim lim 1 1
xx
xx
fx x
→→
>>
=
−=−.
Ces deux limites étant égales et égales à , la fonction est continue en 0, donc sur
()
001f=−=−1\
2) Soit f la fonction définie sur \ par :
()
22si 2
2
3si
xx x
fx x
x
−−
2
≠
=−
=
f
est continue sur et sur en tant que fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas.
]
;2−∞
[ []
2; +∞
Il reste à examiner la continuité en 2. Pour tout 2x
≠
,
(
)
(
)
221
21
22
xx
xx
x
xx
−+
−−=
−−
=+, donc
()
2
22
2
lim lim 1 3 2
2
xx
xx xf
x
→→
−−=+==
−. La fonction est continue en 2, donc sur \
3) Quelle valeur de a faut-il choisir pour que
()
[[]
11
si 1;0 0;
si 0
xx
fx x
ax
+−
[
∈
−∪+∞
=
=
soit continue en 0 ?
f
sera continue en 0 si et seulement si
(
)
(
)
0
lim 0
x
f
xf
→a
=
=. Il faut donc déterminer
0
11
lim
x
x
x
→
+−
En posant
()
1gx x=+, on reconnaît un taux d’accroissement :
(
)
(
)
0
11
0
gx g
x
xx
−
+−
=−, dont la limite en 0 est donc
égale à
()
1
02
21 0
g′=
+
1
=.
f
sera continue en 0 si et seulement si 1
2
a
=
Définition « à part » de f(2)
2 étant une valeur interdite de l’autre
ex
p
ression