Fiche méthode pour étudier la continuité d`une fonction

Cours et exercices de mathématiques
M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
COMMENT ETUDIER LA CONTINUITE
D’UNE FONCTION NUMERIQUE ?
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit que f est continue en a si et seulement si
lim f ( x ) = f ( a ) . On dit que f est continue sur I si et seulement si elle est continue en tout point a de I.
x→a
Graphiquement cela signifie que sa courbe peut se tracer d’un trait continu, « sans lever le crayon »
1) Si on dispose de sa représentation graphique,
Il suffit de regarder si sa courbe peut se tracer d’un trait continu, « sans lever le crayon ».
Exemples de fonctions non continues :
Exemple de fonction continue
2) Si on dispose de l’expression de la fonction
On doit s’assurer que la fonction est définie en a (condition nécessaire) et que la limite en a de f ( x ) est égale à f ( a ) .
Les raisons pour lesquelles ce n’est pas le cas peuvent être :
- limites différentes à gauche et à droite de a
- non existence de la limite
- valeur différente de f ( a )
Par ailleurs,
- Toutes les fonctions obtenues par opérations ou composition des fonctions usuelles sont continues sur chacun des
intervalles où elles sont définies
- Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cette intervalle
 x 2 − 1 si x < 0
1) Soit f la fonction définie sur \ par f ( x ) = 
(cas d’une fonction définie à l’aide de 2 expressions)
 x − 1 si x ≥ 0
La fonction f est continue sur ]−∞;0[ en tant que fonction polynôme et sur [ 0;+∞[ en tant que fonction affine.
On ne peut cependant pas encore conclure concernant la continuité sur \ .
On examine lim f ( x ) = lim x 2 − 1 = −1 et lim f ( x ) = lim x − 1 = −1 .
x →0
x<0
x →0
x >0
x →0
x <0
x →0
x >0
Ces deux limites étant égales et égales à f ( 0 ) = 0 − 1 = −1 , la fonction est continue en 0, donc sur \
 x2 − x − 2

si x ≠ 2
2) Soit f la fonction définie sur \ par : f ( x ) =  x − 2

3
si x = 2

Définition « à part » de f(2)
2 étant une valeur interdite de l’autre
expression
f est continue sur ]−∞;2[ et sur ]2;+∞[ en tant que fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas.
Il
reste
à
examiner
la
continuité
en
2.
Pour
tout
x≠ 2,
x 2 − x − 2 ( x − 2 )( x + 1)
=
= x +1 ,
x−2
x−2
donc
x2 − x − 2
= lim x + 1 = 3 = f ( 2 ) . La fonction est continue en 2, donc sur \
x−2
x→2
x →2
 1+ x −1
si x ∈ [ −1;0[ ∪ ]0; +∞[

3) Quelle valeur de a faut-il choisir pour que f ( x ) = 
soit continue en 0 ?
x
a si x = 0

lim
f sera continue en 0 si et seulement si lim f ( x ) = f ( 0 ) = a . Il faut donc déterminer lim
x →0
x →0
En posant g ( x ) = 1 + x , on
égale à g ′ ( 0 ) =
1
1
= .
2 1+ 0 2
1+ x −1
x
1 + x − 1 g ( x ) − g ( 0)
reconnaît un taux d’accroissement :
=
, dont la limite en 0 est donc
x
x−0
1
f sera continue en 0 si et seulement si a =
2
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