Devoir surveillé de mathématiques no 8.

T4 11/02/2013
Devoir surveill´e de math´ematiques no8.
Exercice 1 (1,5 points)
Les nombres complexes z1=1−3
13i×(2 + 5i) et z2=7−i 2 + 3i
sont-ils conjugu´es ? Justifier.
Exercice 2 (3,5 points)
Soit Ple polynˆome d´efini sur Cpar P(z) = −z3+ 5z2−14z+ 16.
1. V´erifier que 2 est racine de P(c’est-`a-dire P(2) = 0).
2. D´eterminer les r´eels a,bet ctels que pour tout z∈C,
P(z) = (z−2)(az2+bz +c), et en d´eduire une nouvelle ex-
pression de P(z) = 0.
3. R´esoudre dans Cl’´equation P(z) = 0.
Exercice 3 (11 points)
Soit fla fonction d´efinie sur l’intervalle ] −1 ; +∞[ par
f(x) = 1 + ln(1 + x).
On note Cfsa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonormal
(O;−→ i;−→ j).
On note Dla droite d’´equation y=x.
Partie A
1. (a) ´ Etudier le sens de variation de la fonction f.
(b) D´eterminer les limites de la fonction faux bornes de son
ensemble de d´efinition.
2. On d´esigne par g la fonction d´efinie sur l’intervalle ] −1 ; +∞[
par g(x) = f(x)−x.
(a) D´eterminer lim
x→−1g(x).
(b) D´eterminer lim
x→+∞
ln(1 + x)
1 + x. En d´eduire lim
x→+∞
g(x).
(c) ´ Etudier le sens de variation de la fonction g, puis dresser
le tableau de variations de la fonction g.
(d) Montrer que sur l’intervalle ] −1 ; +∞[ l’´equation
g(x) = 0 admet exactement deux solutions αet β, avec
αn´egative et βappartenant `a l’intervalle [2 ; 3].
(e) ` A l’aide des questions pr´ec´edentes, d´eterminer le signe de
g(x).
(f) En d´eduire la position relative de la courbe Cfet de la
droite D.
Partie B
Soit (un) la suite d´efinie pour tout nombre entier naturel npar :
(u0= 2
un+1 =f(un)
1. Montrer que pour tout nombre entier naturel n∈N,
26un6β.
2. La suite (un) est-elle convergente ? Justifier la r´eponse.
Exercice 4 (4 points)
1. Soit fla fonction d´efinie sur −1
3; +∞par f(x) = 1 3x+ 1.
(a) Donner un primitive de fsur l’intervalle −1
3; +∞.
(b) En d´eduire la primitive de fqui s’annule en 1.
2. (a) V´erifier que la fonction Fd´efinie par F(x) = xln x−x
est une primitive de la fonction ln sur ]0; +∞[.
(b) En d´eduire la valeur exacte de Ze
1
(ln x) dx.
3. D´eterminer la valeur exacte des int´egrales :
(a) I=Z1
0
(x2−3) dx.
(b) J=Z5
−2
|x|dxo`u |x|d´esigne la valeur absolue de x.