Devoir surveillé de mathématiques no 8.

T4
11/02/2013
Devoir surveillé de mathématiques no 8.
Exercice 1 (1,5 points)
7−i
3
Les nombres complexes z1 = 1 − i × (2 + 5i) et z2 =
13
2 + 3i
sont-ils conjugués ? Justifier.
Exercice 2 (3,5 points)
Soit P le polynôme défini sur C par P (z) = −z 3 + 5z 2 − 14z + 16.
1. Vérifier que 2 est racine de P (c’est-à-dire P (2) = 0).
2. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout z ∈ C,
P (z) = (z − 2)(az 2 + bz + c), et en déduire une nouvelle expression de P (z) = 0.
3. Résoudre dans C l’équation P (z) = 0.
Exercice 3 (11 points)
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par
(c) Étudier le sens de variation de la fonction g, puis dresser
le tableau de variations de la fonction g.
(d) Montrer que sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ l’équation
g(x) = 0 admet exactement deux solutions α et β, avec
α négative et β appartenant à l’intervalle [2 ; 3].
(e) À l’aide des questions précédentes, déterminer le signe de
g(x).
(f) En déduire la position relative de la courbe Cf et de la
droite D.
Partie B
Soit
( (un ) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par :
u0
= 2
un+1 = f (un )
1. Montrer que pour tout nombre entier naturel n ∈ N,
2 6 un 6 β.
2. La suite (un ) est-elle convergente ? Justifier la réponse.
f (x) = 1 + ln(1 + x).
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal
−
→ −
→
(O; i ; j ).
On note D la droite d’équation y = x.
Partie A
1. (a) Étudier le sens de variation de la fonction f .
(b) Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son
ensemble de définition.
2. On désigne par g la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[
par g(x) = f (x) − x.
(a) Déterminer lim g(x).
x→−1
ln(1 + x)
. En déduire lim g(x).
(b) Déterminer lim
x→+∞
x→+∞ 1 + x
Exercice 4 (4 points)
1
1
.
1. Soit f la fonction définie sur − ; +∞ par f (x) =
3
3x + 1
1
(a) Donner un primitive de f sur l’intervalle − ; +∞ .
3
(b) En déduire la primitive de f qui s’annule en 1.
2. (a) Vérifier que la fonction F définie par F (x) = x ln x − x
est une primitive de la fonction ln sur ]0; +∞[.
Z e
(ln x) dx.
(b) En déduire la valeur exacte de
1
3. Déterminer la valeur exacte des intégrales :
Z 1
(x2 − 3) dx.
(a) I =
0
(b) J =
Z
5
−2
|x| dx où |x| désigne la valeur absolue de x.