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Corrig´ e – TD 10
Mesures sign´ees, Th´eor`eme de Radon-Nikodym, Dualit´e Lp–Lq
Exercice 1 (L’espace M(R)).Montrer que M(R)l’espace des mesures sign´ ees bor´ eliennes sur R
est un espace de Banach pour la norme µ7→ kµk, o ` ukµk=|µ|(R).
Corrig´e : Soit (µn)n≥1une suite de Cauchy pour la norme k·k.
´
Etape 1: pour tout bor´ elien Ade Ret n, p ≥1, on a |µn(A)−µp(A)|≤kµn−µpk, ce qui
implique que la suite (µn(A))n≥1est de Cauchy dans R, et converge donc vers une limite not´ ee
µ(A).
´
Etape 2: montrons que µest une mesure sign´ ee. Prouvons tout d’abord que:
lim
n→∞ sup{|µ(A)−µn(A)|;A∈ B(R)}= 0.(1)
`
A cet effet, soient  > 0et n0>1tels que kµn−µkk ≤ pour n, k ≥n0. Soit A∈ B(R). On
choisit k > n0tel que |µ(A)−µk(A)|< . Alors pour n>n0:
|µ(A)−µn(A)| ≤ |µ(A)−µk(A)|+|µk(A)−µn(A)| ≤ +kµn−µkk ≤ 2,
ce qui prouve (1).
Ensuite, les mesures sign´ ees µnsont en particulier finiment additives, ce qui implique ais´ ement
que µest finiment additive. Montrons maintenant que µest σ-additive. Soient (Ai)i≥1des
bor´ eliens disjoints et  > 0. D’apr` es (1), il existe n0>0tel que pour n≥n0:
sup{|µ(A)−µn(A)|;A∈ B(R)} ≤ .
On choisit ensuite k0>0tel que pour tout k≥k0:
µn[
i≥k+1
Ai ≤.
En particulier, ceci implique que pour k≥k0:
µ[
i≥k+1
Ai ≤2.
Par additivit´ e (finie) de µ, on obtient finalement pour tout k≥k0:
µ[
i≥1
Ai−
k
X
i=1
µ(Ai) = µ[
i≥k+1
Ai ≤2.
Ceci ´ etant vrai pour tout  > 0, la σ-additivit´ e de µen d´ ecoule, ce qui prouve que µest une
mesure sign´ ee.
´
Etape 3: on v´ erifie que kµn−µk → 0. Ceci d´ ecoule imm´ ediatement de (1) et de l’in´ egalit´ e
kνk=ν(X+) + |ν(X−)| ≤ 2 sup{|ν(A)|;A∈ B(R)}
v´ erifi´ ee pour une mesure sign´ ee νsur R(o ` u on a not´ eX±les supports de ν±).
On a donc prouv´ e que (M(R),k·k)est un espace de Banach.
Pour des questions, n’h´ esitez pas ` a envoyer un mail ` a[email protected], ou bien ` a passer au bureau V7.
1

Exercice 2 (Contre-exemple ` a Radon-Nikodym).
Soit mla mesure de comptage sur (R,P(R)), c’est-` a-dire que m(A) = #Apour toute partie A
de R. On note m0la restriction de m` a la tribu bor´ elienne de R.
1. Montrer que la mesure de Lebesgue est absolument continue par rapport ` am0.
2. Montrer qu’il n’existe pas de fonction mesurable f:R→R+telle que λ=f·m0, o ` uλ
d´ esigne la mesure de Lebesgue.
3. Conclure.
Corrig´e :
1. Soit A∈B(R)telle que m0(A)=0. Alors A=∅et donc λ(A) = 0.
2. Supposons qu’il existe une telle fonction f. Alors pour tout x∈R, on a
0 = λ({x}) = Z{x} fdm0=f(x).
Ainsi f= 0 puis λ= 0. Contradiction.
3. La mesure m0n’est pas σ-finie et le th´ eor` eme de Radon-Nikodym ne s’applique pas.
Exercice 3. On veut prouver le r´ esultat suivant, appel´ edualit´e Lp–Lq:
Soit µune mesure positive σ-finie sur un espace mesurable (E, E), soit p∈[1,∞[et soit q
l’exposant conjugu´ e de p. Alors, pour toute forme lin´ eaire continue φ:Lp(E, E, µ)→C, il
existe une unique fonction gφ∈Lq(E, E, µ)telle que pour toute f∈Lp(E, E, µ),
φ(f) = ZE fgφdµ.
De plus, la norme d’op´ erateur de φ
kφk0
p:= sup{|φ(f)|:f∈Lp(E, E, µ),kfkp= 1}=kgφkq,
et l’application φ7→ gφest une isom´ etrie lin´ eaire bijective du dual topologique de Lp(E, E, µ)
sur Lq(E, E, µ).
1. Supposons d’abord que la mesure µest finie.
(a) On d´ efinit ν(A) = φ(1A)pour tout A∈E. V´ erifier que l’application νainsi d´ efinie
est une mesure complexe absolument continue par rapport ` aµ.
(b) On note Sl’ensemble des fonctions ´ etag´ ees E-mesurables, et on se rappelle que S
est dense dans L∞(E, E, µ). Montrer en utilisant le th´ eor` eme de Radon-Nikodym
qu’il existe une fonction g:E→C,E-mesurable et µ-int´ egrable telle que
∀f∈L∞(E, E, µ), φ(f) = ZE fg dµ.
(c) Si p= 1, montrer que cette fonction g∈L∞(E, E, µ)et kgk∞=kφk0
1.
2

(d) Si 1<p<∞, montrer que g∈Lq(E, E, µ)et kgkq=kφk0
p.
2. Supposons que la mesure µest σ-finie: soient En∈E, n ∈Ntels que ∪En=Eet
µ(En)<∞.
(a) On pose ω=Pn∈N2−n−1
1+µ(En)1Enet µ∗=ωµ. Alors µ∗est une mesure positive de
masse finie.
(b) On d´ efinit ψ:Lp(E, E, µ∗)→Lp(E, E, µ)par ψ(h) = ω1/ph. V´ erifier que ψest une
isom´ etrie bijective lin´ eaire.
(c) Conclure en consid´ erant la forme lin´ eaire continue ϕ=φ◦ψsur Lp(E, E, µ∗).
Corrig´e : Voir le polycopi´ e de cours.
Exercice 4 (Petit contre-exemple).Soient E={a, b}et µla mesure d´ efinie sur P(E)par
µ({a})=1et µ({b}) = µ(E)=+∞. Caract´ eriser L∞(µ)et le dual topologique de L1(µ).
Conclure.
Corrig´e : On a L∞={f:E→R}et L1={f:E→R|f(b)=0}. Donc le dual topologique
de L1est (L1)0={f∈L17→ αf(a): α∈R}. On voit ici que l’application g∈L∞7→ Φg∈(L1)0,
o` uΦg:f∈L17→ REfg dµ), est surjective mais pas injective.
La mesure µn’est pas σ-finie et le th´ eor` eme de dualit´ e (avec p= 1 et q= +∞) ne s’applique
pas dans ce cas.
Exercice 5 (Th´ eor` eme de Vitali-Saks).Soit (E, E, µ)un espace mesur´ e. Une famille (νi)i∈Ide
mesures sur Eest dite absolument ´equicontinue par rapport ` a la mesure µsi:
(∀ε > 0,∃Aε∈E, µ(Aε)<+∞et ∀i∈I, νi(Ac
ε)< ε,
∀ε > 0,∃δ > 0,∀A∈E, µ(A)< δ =⇒ ∀i∈I, νi(A)< ε
On suppose que E=σ(C), o ` uCest une classe stable par intersection finie contenant E. Le but
est de prouver le r´ esultat suivant :
Soit (νn)n≥1une suite de mesures finies sur E, absolument ´ equicontinue par rapport ` aµet
telle que pour tout C∈ C,limnνn(C)existe dans R+. Alors pour tout A∈E,ν(A) = limnνn(A)
existe dans R+et νd´ efinit une mesure absolument continue par rapport ` aµ.
1. Soit B={A∈E;ν(A) = limnνn(A)existe dans R+}. Montrer que Best stable par
diff´ erence propre (c’est-` a-dire si A, B ∈ B avec A⊂B, alors B\A∈ B).
2. Soient (Bk)k≥1une suite d’´ el´ ements deux ` a deux disjoints de Bet Bleur r´ eunion. Montrer
que
lim
n→∞ νn(B) = X
k≥1
lim
n→∞ νn(Bk).
3. En d´ eduire que B=E.
4. Montrer que l’application νest une mesure sur E, absolument continue par rapport ` a la
mesure µ.
3

Corrig´e (ou plutˆ ot ´ ebauche de corrig´ e) :
1. Pas de difficult´ e.
2. D’abord voir que
X
k≥1
lim
n→∞ νn(Bk)≤lim inf n→∞ νn(B)
en utilisant le lemme de Fatou (pour la mesure de comptage). Pour prouver que
lim sup
n→∞
νn(B)≤X
k≥1
lim
n→∞ νn(Bk),
´
ecrire pour tout  > 0et n, k ≥1:
νn(B)≤
k
X
j=1
νn(Bj) + νnAε∩\
j>k
Bj+νn(Ac
ε∩B),
et utiliser le fait que µAε∩Tj>k Bj→0lorsque k→ ∞.
3. On v´ erifie que Best une classe monotone, ce qui fournit le r´ esultat d´ esir´ e en utilisant le
lemme de la classe monotone.
4. Pas de difficult´ e en utilisant l’´ equicontinuit´ e.
Exercice 6 (S´ equentielle compacit´ e faible dans L1, th´ eor` eme de Dunford–Pettis).
Soit (E, E, µ)un espace mesur´ e de mesure finie. On suppose que E=σ(C), o ` uCest une classe
d´ enombrable stable par intersection finie contenant E.
1. Montrer que c’est bien le cas lorsque Eest un espace m´ etrique s´ eparable muni de sa tribu
bor´ elienne.
Soit (fn)n≥1une suite born´ ee de L1(E, E, µ)(c’est-` a-dire la suite (kfnk1)n≥1est born´ ee) telle
que la suite de mesures (|fn|·µ)n≥1est absolument ´ equicontinue par rapport ` aµ(voir l’exercice
pr´ ec´ edent pour une d´ efinition).
2. Montrer qu’il existe une sous-suite (fφ(n))n≥1telle que les deux suites de mesures d´ efinies
par ν±:= f±
n·µv´
erifient: pour tout C∈ C,limnν±
φ(n)(C)existent dans R.
3. Montrer qu’il existe f∈L1(E, E, µ)v´ erifiant pour tout A∈E:lim
n→∞ ZA
fφ(n)dµ =ZA fdµ.
4. En d´ eduire la convergence faible de fφ(n)vers f:∀g∈L∞(E, E, µ),
lim
n→∞ ZE
fφ(n)g dµ =ZE fg dµ.
5. Une suite (fn)n≥1qui converge faiblement converge-t-elle n´ ecessairement µ-p.p. ou en
norme k·k1vers f?
4

Corrig´e (ou plutˆ ot ´ ebauche de corrig´ e) :
1. Prendre U= (Un)n≥0une base d´ enombrable d’ouverts de Eavec U0:= E, puis choisir C
comme ´ etant compos´ ee par les intersections finies d’´ el´ ements de U.
2. Pour tout C∈ C, les suites (ν±
n(C))n≥1sont born´
ees, donc admettent une valeur d’adh´ erence.
Utiliser ensuite le proc´ ed´ e d’extraction diagonal et la d´ enombrabilit´ e de C.
3. Appliquer l’exercice pr´ ec´ edent aux suites de mesures (ν±
n)n≥1, puis le th´
eor` eme de Radon-
Nikodym ` a leur limite (justifier qu’on peut l’appliquer !)
4. Si g∈L∞(E, E, µ), voir que pour tout  > 0, il existe une fonction ´ etag´ ee gtelle que
kg−gk∞< .
5. Non. Consid´ erer la suite d´ efinie sur [0,1] par fn(x) = sin(nx).
5