PROPRIÉTÉS GLOBALES Exercice 4. DÉFINITION DE LA LIMITE

PSI
Feuille d’exercices n˚1 - Chapitre I - FONCTIONS DE R dans R
2012-2013
Exercice 10.
Calculer les limites suivantes lorsque celles-ci existent :
x + arctan x
PROPRIÉTÉS GLOBALES
1
x
x cos ex
2. lim
x→+∞ x2 + 1
3. lim ex−sin x
1. lim sin
Exercice 1. Soit f : R → R telle que f ◦ f est croissante tandis que f ◦ f ◦ f
x→0
est strictement décroissante.
Montrer par contraposée que f est strictement décroissante sur R.
√
Exercice 2. Étudier la parité de f définie par f (x) = ln( x2 + 1 + x).
x→+∞
ex + 1
Exercice 3. Étudier la parité de f définie par f (x) = x
.
e −1
4.
lim
x
1−x
5. lim
x→1 arccos x
1
1
6. lim xE
et lim xE
x→+∞
x→0
x
x
x→+ inf
Exercice 11. Soit f : R → R une fonction T -périodique (avec T > 0) telle
que f admette une limite finie en +∞. Montrer que f est constante.
Exercice 4.
FONCTIONS NÉGLIGEABLES, DOMINÉES,
ÉQUIVALENTES
1. Montrer que ∀t ∈ R, | sin t| 6 |t|.
2. En déduire que la fonction sin est 1-lipschizienne sur R.
√
1
Déterminer un équivalent simple de f (x) quand x → +∞ pour :
x est -lipschitzienne sur [1, +∞[, Exercice 12.
√
√
2
2
1. f (x) = x + 1 + x2 − 1
mais non lipschiztienne sur [0, +∞[.
√
x3 + 2
Exercice 6. Soit f : R → R une fonction k-lipschitzienne avec k ∈ [0, 1[ telle 2. f (x) = √
3
x2 + 2
que f (0) = 0. On définit la suite réelle (un ) par u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 = f (un ).
√
√
3. f (x) = x2 + 1 − x2 − 1
Montrer que u → 0.
Exercice 5. Montrer que la fonction x 7→
n
Exercice 13. Déterminer un équivalent simple de f (x) quand x → +∞.
DÉFINITION DE LA LIMITE
ln(x + 1)
−1
(utiliser ln(1 + y) ∼ y avec y à préciser)
0
ln x
p
p
2. f (x) = ln(x + 1) − ln(x − 1)
1. f (x) =
Exercice 7. Soit f : R → R définie par f (x) = ax + b.
En vous servant de la définition de la limite, montrer que f → b.
0
Exercice 8. Soit f : R → R définie par f (x) =
√
3. f (x) = x ln(x + 1) − (x + 1) ln x
x.
En vous servant de la définition de la limite, montrer que f −→ +∞.
Exercice 14. Déterminer un équivalent simple √de f (x) quand
x → 0.
√
+∞
CALCULS DE LIMITES
1 + x2 −
1. f (x) = ln(1 + sin x)
3. f (x) =
2. f (x) = ln(ln(1 + x))
4. f (x) = ex + x + 1
1 − x2
Exercice√ 9. Calculer
les limites suivantes lorsque celles-ci existent : Exercice 15. Équivalent simple de ln(cos x) quand x → (π/2)− .
√
1+x− 1−x
x→0
x
√
x− x
2. lim
x→+∞ ln x + x
3. lim xx
1. lim
x→0+
Lycée de l’Essouriau
4. lim (ln x). ln(ln x)
Exercice 16. Déterminer les limites suivantes à l’aide d’un équivalent.
x→1+
5. lim (1 + x)1/x
1.
x→0
6. lim
x→1
1−x
arccos x
2.
1
lim
x→+∞
lim
x→+∞
xe−x + x2
x − ln x
x ln x − x
x + cos x
√
3.
lim
x→+∞
xex − x2
ex + e−x
PSI
Feuille d’exercices n˚1 - Chapitre I - FONCTIONS DE R dans R
2012-2013
Exercice 17. Déterminer les limites suivantes à l’aide d’un équivalent. Exercice 25. Soit f : R → R continue telle que :
x + sin x
x ln x
x→0+
ln x + x2
2. lim
x→0+ ln(x + x2 )
ln x
−1
4. lim ln x ln(1 − x)
1. lim
∀(x, y) ∈ R2 ,
3. lim
x→1 x2
f (x + y) = f (x) + f (y)
1. Calculer f (0) et montrer que pour tout x ∈ R, f (−x) = −f (x).
x→1
2. Justifier que pour tout n ∈ Z et pour tout x ∈ R, f (nx) = nf (x).
x2
+ 2x
.
2x − 1
1. Donner un équivalent simple de f (x) en +∞ que l’on notera u(x).
Exercice 18. Soit f : R+ → R définie par f (x) =
3. Établir que pour tout r ∈ Q, f (r) = ar avec a = f (1)
4. Conclure que pour tout x ∈ R, f (x) = ax.
Exercice 26. Soit f la fonction définie par f (x) = ln(ex + 1).
2. Donner un équivalent simple de f (x) − u(x) en +∞.
Montrer que f est une bijection de R dans R+∗ et déterminer sa bijection
réciproque.
x
.
Exercice 27. Soit f la fonction définie par f (x) =
1 + |x|
Montrer que f est une bijection de R dans un intervalle que l’on précisera et
déterminer sa bijection réciproque.
3. En déduire la branche infinie de f .
CONTINUITÉ
Exercice 19. Étudier la continuité sur R de f : x 7→ E(x) −
p
x − E(x).
Exercice 20. Étudier la continuité sur R de f : x 7→ x − E(x) − (x − E(x))2 . Exercice 28. Soit f : R → R une fonction continue telle que :
( ex − 1
Exercice 21. Étudier la continuité en 0 de f : x 7→
x
0
Exercice 22. La fonction f : R+∗
prolongeable par continuité en 0 ?
si x 6= 0
lim f (x) = −1
.
x→−∞
1. Montrer que ∀x ∈ R, ∀n ∈ N,
Montrer que f s’annule.
ln(1 + x)
est-elle Exercice 29. Soit f : [0, 1] → [0, 1] continue.
→ R définie par f (x) =
x
Montrer que f admet un point fixe.
Exercice 30. Soit f : [0, +∞[→ [0, +∞[ continue vérifiant f ◦ f = Id.
1. Montrer que f est croissante sur [0, +∞[.
f (2x) = f (x)
x
f n = f (x).
2
2. En déduire la seule fonction solution de cette équation.
FONCTIONS A VALEURS COMPLEXES
2. Montrer que f est constante.
Exercice 31. Calculer lim
t→0
Exercice 24. Soit f : R → R, continue en 0 et en 1 telle que :
∀x ∈ R,
rt eiαt − 1
(r ∈ R+∗ et α ∈ R).
t
Exercice 32. Montrer que si f est une fonctions continue de R dans C, la
f (x2 ) = f (x)
fonction t 7→ |f (t)| est continue. La réciproque est-elle vraie ?
(si oui le démontrer, si non fournir un contre-exemple)
Montrer que f est constante.
Lycée de l’Essouriau
lim f (x) = 1.
x→+∞
si x = 0
Exercice 23. Soit f : R → R, continue en 0, et telle que :
∀x ∈ R,
et
2