PROPRIÉTÉS GLOBALES Exercice 4. DÉFINITION DE LA LIMITE

PSI Feuille d’exercices n˚1 - Chapitre I - FONCTIONS DE Rdans R2012-2013
PROPRI´ ET´ ES GLOBALES
Exercice 1. Soit f:R→Rtelle que f◦fest croissante tandis que f◦f◦f
est strictement d´ecroissante.
Montrer par contrapos´ee que fest strictement d´ecroissante sur R.
Exercice 2. ´ Etudier la parit´e de fd´efinie par f(x) = ln(√x2+1+x).
Exercice 3. ´ Etudier la parit´e de fd´efinie par f(x) = ex+ 1
ex−1.
Exercice 4.
1. Montrer que ∀t∈R,|sin t|6|t|.
2. En d´eduire que la fonction sin est 1-lipschizienne sur R.
Exercice 5. Montrer que la fonction x7→ √xest 1
2-lipschitzienne sur [1,+∞[,
mais non lipschiztienne sur [0,+∞[.
Exercice 6. Soit f:R→Rune fonction k-lipschitzienne avec k∈[0,1[ telle
que f(0) = 0. On d´efinit la suite r´eelle (un) par u0=aet ∀n∈N, un+1 =f(un).
Montrer que un→0.
D´ EFINITION DE LA LIMITE
Exercice 7. Soit f:R→Rd´efinie par f(x) = ax +b.
En vous servant de la d´efinition de la limite, montrer que f→
0b.
Exercice 8. Soit f:R→Rd´efinie par f(x) = √x.
En vous servant de la d´efinition de la limite, montrer que f−→
+∞+∞.
CALCULS DE LIMITES
Exercice 9. Calculer les limites suivantes lorsque celles-ci existent :
1. lim
x→0
√1 + x−√1−x
x
2. lim
x→+∞
x−√x
ln x+x
3. lim
x→0+xx
4. lim
x→1+(ln x).ln(ln x)
5. lim
x→0(1 + x)1/x
6. lim
x→1
1−x
arccos x
Exercice 10. Calculer les limites suivantes lorsque celles-ci existent :
1. lim
x→0sin 1
x
2. lim
x→+∞
xcos ex
x2+ 1
3. lim
x→+∞ex−sin x
4. lim
x→+ inf
x+ arctan x
x
5. lim
x→1
1−x
arccos x
6. lim
x→0xE 1
xet lim
x→+∞xE 1
x
Exercice 11. Soit f:R→Rune fonction T-p´eriodique (avec T > 0) telle
que fadmette une limite finie en +∞. Montrer que fest constante.
FONCTIONS N´ EGLIGEABLES, DOMIN´ EES,
´
EQUIVALENTES
Exercice 12. D´eterminer un ´equivalent simple de f(x) quand x→+∞pour :
1. f(x) = √x2+1+√x2−1
2. f(x) = √x3+ 2
3
√x2+ 2
3. f(x) = √x2+ 1 −√x2−1
Exercice 13. D´eterminer un ´equivalent simple de f(x) quand x→+∞.
1. f(x) = ln(x+ 1)
ln x−1(utiliser ln(1 + y)∼
0yavec y`a pr´eciser)
2. f(x) = pln(x+ 1) −pln(x−1)
3. f(x) = xln(x+ 1) −(x+ 1) ln x
Exercice 14. D´eterminer un ´equivalent simple de f(x) quand x→0.
1. f(x) = ln(1 + sin x)
2. f(x) = ln(ln(1 + x))
3. f(x) = √1 + x2−√1−x2
4. f(x) = ex+x+ 1
Exercice 15. ´ Equivalent simple de ln(cos x) quand x→(π/2)−.
Exercice 16. D´eterminer les limites suivantes `a l’aide d’un ´equivalent.
1. lim
x→+∞
xe−x+x2
x−ln x
2. lim
x→+∞
xln x−x
x+ cos x
3. lim
x→+∞
√xex−x2
ex+e−x
Lyc´ee de l’Essouriau 1

PSI Feuille d’exercices n˚1 - Chapitre I - FONCTIONS DE Rdans R2012-2013
Exercice 17. D´eterminer les limites suivantes `a l’aide d’un ´equivalent.
1. lim
x→0+
x+ sin x
xln x
2. lim
x→0+
ln x+x2
ln(x+x2)
3. lim
x→1
ln x
x2−1
4. lim
x→1ln xln(1 −x)
Exercice 18. Soit f:R+→Rd´efinie par f(x) = x2+ 2x
2x−1.
1. Donner un ´equivalent simple de f(x) en +∞que l’on notera u(x).
2. Donner un ´equivalent simple de f(x)−u(x) en +∞.
3. En d´eduire la branche infinie de f.
CONTINUIT´ E
Exercice 19. ´ Etudier la continuit´e sur Rde f:x7→ E(x)−px−E(x).
Exercice 20. ´ Etudier la continuit´e sur Rde f:x7→ x−E(x)−(x−E(x))2.
Exercice 21. ´ Etudier la continuit´e en 0 de f:x7→ (ex−1
xsi x6= 0
0 si x= 0
.
Exercice 22. La fonction f:R+∗→Rd´efinie par f(x) = ln(1 + x)
xest-elle
prolongeable par continuit´e en 0 ?
Exercice 23. Soit f:R→R, continue en 0, et telle que :
∀x∈R, f(2x) = f(x)
1. Montrer que ∀x∈R,∀n∈N, f x
2n=f(x).
2. Montrer que fest constante.
Exercice 24. Soit f:R→R, continue en 0 et en 1 telle que :
∀x∈R, f(x2) = f(x)
Montrer que fest constante.
Exercice 25. Soit f:R→Rcontinue telle que :
∀(x, y)∈R2, f(x+y) = f(x) + f(y)
1. Calculer f(0) et montrer que pour tout x∈R, f(−x) = −f(x).
2. Justifier que pour tout n∈Zet pour tout x∈R,f(nx) = nf(x).
3. ´ Etablir que pour tout r∈Q,f(r) = ar avec a=f(1)
4. Conclure que pour tout x∈R,f(x) = ax.
Exercice 26. Soit fla fonction d´efinie par f(x) = ln(ex+ 1).
Montrer que fest une bijection de Rdans R+∗et d´eterminer sa bijection
r´eciproque.
Exercice 27. Soit fla fonction d´efinie par f(x) = x
1 + |x|.
Montrer que fest une bijection de Rdans un intervalle que l’on pr´ecisera et
d´eterminer sa bijection r´eciproque.
Exercice 28. Soit f:R→Rune fonction continue telle que :
lim
x→−∞ f(x) = −1 et lim x→+∞f(x)=1.
Montrer que fs’annule.
Exercice 29. Soit f: [0,1] →[0,1] continue.
Montrer que fadmet un point fixe.
Exercice 30. Soit f: [0,+∞[→[0,+∞[ continue v´erifiant f◦f=Id.
1. Montrer que fest croissante sur [0,+∞[.
2. En d´eduire la seule fonction solution de cette ´equation.
FONCTIONS A VALEURS COMPLEXES
Exercice 31. Calculer lim
t→0
rteiαt −1
t(r∈R+∗et α∈R).
Exercice 32. Montrer que si fest une fonctions continue de Rdans C, la
fonction t7→ |f(t)|est continue. La r´eciproque est-elle vraie ?
(si oui le d´emontrer, si non fournir un contre-exemple)
Lyc´ee de l’Essouriau 2