Preuve de la Loi des grands nombres (Etemadi, cd Durrett page 55)

(Xi)i≥1
E(|Xi|)<∞
Sn=X1+· · · +Xn.
1
nSnE(X1)
Yk=Xk|Xk|≤k
Tn=Y1+· · · +Yn.
X
k≥1
P(|Xk| ≥ k)≤E(|X1|).
P(Xk6=Yk) = 0.
Tn/n E(X1)
Sn/n
y > 0
∞
X
k=1
1
k2y<k ≤2 y.
E(Y2
k) = R∞
02yP(|Yk| ≥ y)dy
P∞
k=1
1
k2(Yk)≤4E(|X1|)
α > 1k(n) = bαnc
∞
X
k=1
P|Tk(n)−E(Tk(n))| ≥ k(n)
(Ym)
Tk(n)−E(Tk(n))
k(n)
p.s.
−→ 0,
1
k(n)Tk(n)E(X1)
Xi
Yk≥0
α−1E(X1)≤lim inf Tm
m≤lim sup Tm m≤αE(X1).
lim Sn
n= lim Tn n=E(X1)
Xi