Preuve de la Loi des grands nombres (Etemadi, cd Durrett page 55)

Preuve de la Loi des grands nombres (Etemadi, cd Durrett page 55)
Soit (Xi )i≥1 une suite de v.a. de même loi et deux à deux indépendantes. On
suppose que E(|Xi |) < ∞, et on note
Sn = X1 + · · · + Xn .
On veut montrer que n1 Sn converge vers E(X1 ) presque sûrement.
On note Yk = Xk 1|Xk |≤k et
Tn = Y1 + · · · + Yn .
1) Montrer que
X
P(|Xk | ≥ k) ≤ E(|X1 |).
k≥1
2) Montrer que
P(Xk 6= Yk inniment souvent) = 0.
3) En déduire que si Tn /n converge p.s. vers E(X1 ) alors il en est de même pour
Sn /n.
4) Montrer que pour tout réel y > 0
∞
X
1
2
1y<k ≤ .
2
k
y
k=1
5) Montrer que E(Yk2 ) = 0∞ 2yP(|Yk | ≥ y)dy .
P
1
6) En déduire que ∞
k=1 k2 var(Yk ) ≤ 4E(|X1 |).
On se donne un réel α > 1, et on note k(n) = bαn c.
7) En estimant
R
∞
X
P |Tk(n) − E(Tk(n) )| ≥ k(n)
k=1
en fonction de Var(Ym ), montrer que
Tk(n) − E(Tk(n) ) p.s.
−→ 0,
k(n)
puis que
1
T
k(n) k(n)
converge p.s. vers E(X1 ).
Dans les questions 8) et 9) on suppose que les v.a. Xi sont positives p.s. (et donc
Yk ≥ 0 aussi).
8) En faisant un encadrement judicieux, montrer que p.s.
α−1 E(X1 ) ≤ lim inf
Tm
Tm
≤ lim sup
≤ αE(X1 ).
m
m
9) En déduire que lim Snn = lim Tnn = E(X1 ) p.s..
10) Conclure dans le cas où les v.a. Xi ne sont pas positives.
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