Probabilité – Corrigé des Annales

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Probabilité – Corrigé des Annales
TS –2010
Métropole septembre 2006
Polynésie septembre 2009

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Centres étrangers juin 2003
1) :
a) p(50 D 100) =
dxex
100
50
82
82
1
= [–
82
x
e
]
100
50
= –
82
100
e
+
82
50
e
0,248
b) p(D 300) = 1 – p(D 300) = 1 –
dxex
300
0
82
82
1
= 1 – [–
82
x
e
]
300
0
= 1 +
82
300
e
– 1 =
82
300
e
0,026
2) On recherche la probabilité conditionnelle :
)25350(
350 DpD
=
)375(
350 DpD
=
)350())350()375(( Dp DDp
=
)350()375(Dp Dp
=
82
350
82
375
e
e
=
82
350
82
375 ee
=
82
25
e
0,737.
Remarque : On peut directement calculer cette probabilité conditionnelle car la
variable aléatoire D suit aussi une loi de durée de vie sans vieillissement.
On a alors :
)25350(
350 DpD
= p(D 25) =
82
25
e
.
3)
a) On pose :
xxv
exu x
)( 82
1
)(' 82
d’où
1)('
)( 82
xv
exu x
; les fonctions u et v
sont dérivables sur [0 ; + [ et leurs dérivées sont continues sur [0 ; +
[.
Par la formule de l’intégration par parties, on obtient :
I(A) = [–x
82
x
e
]
A
0
–
Axdxe
0
82
= –A
82
A
e
+ 0 – [82
82
x
e
]
A
0
= –
82
A
e
A
– 82
82
A
e
+ 82
b)
lim
82
A
= – et lim ex = 0 d’où lim
82
A
e
= 0 (th. de limite de fonctions composées)
A + x – A +
Par ailleurs, on a :
82
A
e
A
= 82
82
82
A
e
A
et
82
82
A
e
A
est de la forme
x
ex
.
Or lim
82
A
= + et lim
x
ex
= 0 (th. de croissance comparée) d’où lim
82
82
A
e
A
= 0
A + x + A +
On en déduit que lim I(A) = 82 (théorème de limites de somme et de produit)
A +
Remarque : On a démontré, dans ce cas particulier de variable aléatoire D suivant la loi
exponentielle de paramètre =
82
1
, que le résultat de son espérance mathématique
(ici distance moyenne parcourue sans incident) est égale à
1
= 82.
4)
a) p(D d) = 1 – p(D< d) = 1 –
dxe
dx
0
82
82
1
= 1 – [–
82
x
e
]
d
0
= 1 +
82
d
e
– 1 =
82
d
e
On répète N0 fois l’expérience de faire voyager un car, chacun ayant la probabilité, de
ne pas subir d’incident après avoir parcouru d Km, égale à
82
d
e
=
d
e

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Donc Xd suit la loi binomiale de paramètres N0 et
d
e
.
b) Le nombre moyen d’autocars ayant subi aucun incident après avoir
parcouru d Km est égal à l’espérance mathématique de Xd : E(Xd) = N0
d
e
=
N0
82
d
e
.
Nouvelle-Calédonie décembre 2008

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Nouvelle-Calédonie mars 2005