Probabilité – Corrigé des Annales

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Probabilité – Corrigé des Annales
Polynésie septembre 2009
TS –2010
Métropole septembre 2006
1|4
x
x
1 82
82
u ' ( x)
e
e ; les fonctions u et v
a) On pose :
d’où u ( x)
82
v' ( x) 1
v( x) x
sont dérivables sur [0 ; + [ et leurs dérivées sont continues sur [0 ; +
[.
Par la formule de l’intégration par parties, on obtient :
x
x
A
I(A) = [–x e 82 ] 0A –
A
x
A
A
e 82 dx = –A e 82 + 0 – [82 e 82 ] 0A = –
– 82 e 82 + 82
A
0
e
82
b)
Centres étrangers juin 2003
1) :
x
100
a) p(50 D 100) =
x
1 82
e dx = [– e 82 ] 100
50 = – e
82
50
x
82
300
0
e
50
+ e 82
1
e dx = 1 – [– e
82
b) p(D 300) = 1 – p(D 300) = 1 –
300
82
100
82
x
82
0,248
] 300
0 =1+
350
(D
350 25) = p D
p( D 375)
p( D 350)
A
=–
82
A
+
=
e
e
350
(D
375
82
350
82
=e
375) =
375
82
p((D
350
375) ( D 350))
=
p( D 350)
25
e 82 = e 82
0,737.
A
et lim ex = 0 d’où lim e 82 = 0 (th. de limite de fonctions composées)
x
Par ailleurs, on a :
–
A
A
e 82
300
82
–1= e
0,026
2) On recherche la probabilité conditionnelle :
pD
lim
Or lim
A
=+
82
A
A
A
x
= 82 82
et 82
est de la forme x .
A
A
e
e 82
e 82
A
x
et lim x = 0 (th. de croissance comparée) d’où lim 82
=0
A
e
82
e
A +
x +
A +
On en déduit que lim I(A) = 82 (théorème de limites de somme et de produit)
A +
Remarque : On a démontré, dans ce cas particulier de variable aléatoire D suivant la loi
exponentielle de paramètre
Remarque : On peut directement calculer cette probabilité conditionnelle car la
variable aléatoire D suit aussi une loi de durée de vie sans vieillissement.
On a alors : p D
350
(D
350 25) = p(D 25) = e
25
82
.
+
=
1
, que le résultat de son espérance mathématique
82
1
(ici distance moyenne parcourue sans incident) est égale à
4)
d
3)
= 82.
x
x
d
d
1 82
a) p(D d) = 1 – p(D< d) = 1 –
e dx = 1 – [– e 82 ] 0d = 1 + e 82 – 1 = e 82
82
0
On répète N0 fois l’expérience de faire voyager un car, chacun ayant la probabilité, de
ne pas subir d’incident après avoir parcouru d Km, égale à e
d
82
=e
d
2|4
Donc Xd suit la loi binomiale de paramètres N0 et e d .
b) Le nombre moyen d’autocars ayant subi aucun incident après avoir
parcouru d Km est égal à l’espérance mathématique de Xd : E(Xd) = N0 e
N0 e
d
82
d
=
.
Nouvelle-Calédonie décembre 2008
3|4
Nouvelle-Calédonie mars 2005
4|4
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