Continuité-Limites 1 Introduction-notion de continuité 2 Théor`eme

Continuité-Limites
TES
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Introduction-notion de continuité
f est une fonction continue sur un intervalle I si sa courbe représentative est un trait continu (on peut effectuer le tracé
sans lever le crayon).
Exemple 1 : Exemples de fonctions continues et discontinues
1.
2.
3.
Citer une fonction continue sur R
Citer une fonction non continue sur R
On donne la fonction f définie sur R par :
– f (x) = 2x − 1 si x < 0
– f (x) = x + 1 si x ≥ 0
Représenter la fonction f dans un repère orthonormé.
Remarque : Continuité des fonctions en terminale ES
– Les fonctions polynômes et rationnelles (quotient de deux polynômes) sont continues sur leur ensemble de définition.
Plus généralement, les fonctions vues en terminale ES sont continues sur leur domaine de définition.
– Les flèches des tableaux de variations indiquent la continuité de la fonction considérée.
2
2.1
Théorème de la valeur intermédiaire
introduction
Exemple 2 Conditions pour l’unicité de la solution de f (x) = k
On a représenté ci-dessous la courbe représentative de chacune des fonctions f , g, h et i définies sur I = [−2; 4] :
1.
2.
2.2
L’équation f (x) = 1 (resp g(x) = 1 ; h(x) = 1 et i(x) = 1) admet-elle une solution unique sur I ?
En déduire les trois conditions suffisantes pour l’existence et l’unicité de la solution d’une équation de la forme
f (x) = k (avec k réel)
Théorème de la valeur intermédiaire
ThéorèmeThéorème de la valeur intermédiaire
f est une fonction définie sur un intervalle I = [a; b] (a < b) de R
Si f est continue et strictement monotone sur I alors f prend une seule fois toute valeur comprise entre f (a)
et f (b)
Exemple 3
Montrer que l’équation x3 − 2x2 + 12x − 5 = 0 admet une solution unique sur R
On pourra poser f (x) = x3 − 2x2 + 12x − 5 définie sur R
2.3
1.
Encadrement de la solution à la calculatrice
Encadrement aux dixièmes (exemple avec la solution α de l’exemple 3)
– Menu tabl (tableaux de valeurs)
– Entrer la fonction f considérée
– Sélectionner Rang pour ajuster le pas
– Choisir Xstart=0 ; Xend=1 ; Pitch=0, 1 (tableau de valeurs avec x variant de 0 à 1 par pas de 0, 1)
– Revenir à l’écran précédent (Quit ou Exit) puis sélectionner Tabl
– Trouver deux valeurs de Y encadrant 0 et noter les valeurs de x correspondantes.
Remarque : Arrondi de la solution :
Pour arrondir la solution aux dixièmes, il faut encadrer aux centièmes.
Pour arrondir aux centièmes, il faut encadrer aux millièmes......
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Limites et opérations sur les limites
3.1
Cas d’indétermination
Voir tableaux du livre page 16 et 17
Cas d’indétermination
– Cas 1 Somme : Si lim f (x)= +∞ et lim g(x)= −∞ alors la limite de la somme lim f + g est indéterminée
x→a
x→a
x→a
– Cas 2 produit : Si lim f (x)= ±∞ et lim g(x)= 0 alors la limite du produit lim f × g est indéterminée
x→a
x→a
x→a
– Cas 3 quotient : Si lim f (x)= ±∞ et lim g(x)= ±∞ alors la limite du quotient lim
x→a
x→a
x→a
f
est indéterminée
g
f
est indéterminée
x→a g
Si lim f (x)= 0 et lim g(x)= 0 alors la limite du quotient lim
x→a
3.2
x→a
Fonctions polynômes
Propriété Limite en ±∞
La limite d’une fonction polynôme en ±∞ est égale à la limite du terme de plus haut degré
Exemple 4
Soit f définie sur R par f (x) = −2x3 + 5x − 3
Déterminer lim f (x)
x→+∞
3.3
Fonctions rationnelles
PropriétéLimite en ±∞
La limite en d’une fonction rationnelle en ±∞ est égale à la limite du rapport des termes de plus haut degré
Exemple 5 :Limites en l’infini
2x − 3
Soit f définie sur R par f (x) = 2
4x + 3
Déterminer lim f (x)
x→+∞
3.4
Limite d’un quotient
Limite d’une fonction rationnelle en un point où elle n’est pas définie
– Déterminer la limite du numérateur
– Déterminer la limite du dénominateur
– Déterminer la limite du quotient
Remarque : Cas du dénominateur nul
Il faut souvent distinguer deux cas :
Si on cherche la limite quand x → 1 e que le dénominateur vaut 0 pour x = 1 alors il faut distinguer les cas x → 1+
(x > 1) et x → 1− (x < 1)
Exemple 6 : Limite d’un quotient
Soit f définie sur R − {1} par f (x) =
Déterminer la limite en x = 1 de f
3.5
3x2 − 2
x−1
Exemple d’indétermination
Exemple 7 Cas d’indétermination d’un quotient
x2 − 1
Soit f définie sur R − {−1} par f (x) =
x+1
Déterminer la limite en x = −1 de f
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Détermination de limites par comparaison
Théorème Comparaison
Soit f et g définie sur I =]a; +∞[ telles que pour tout réel x de I on ait :
f (x) < g(x)
Si lim f (x)= +∞ alors lim g(x)= +∞
x→+∞
x→+∞
et si lim g(x)= −∞ alors lim f (x)= −∞
x→+∞
x→+∞
Il en est de même quand x → −∞
Théorème Théorème des « gendarmes »
Si f (x) < g(x) < h(x) et lim f (x)= lim h(x)= l alors lim g(x)= l
x→+∞
x→+∞
x→+∞
avec l pouvant être ±∞
Il en est de même quand x → −∞
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