Continuité-Limites 1 Introduction-notion de continuité 2 Théor`eme

TES Continuit´e-Limites
1 Introduction-notion de continuit´e
fest une fonction continue sur un intervalle Isi sa courbe repr´esentative est un trait continu (on peut effectuer le trac´e
sans lever le crayon).
Exemple 1 : Exemples de fonctions continues et discontinues
1. Citer une fonction continue sur R
2. Citer une fonction non continue sur R
3. On donne la fonction fd´efinie sur Rpar :
–f(x) = 2x−1 si x < 0
–f(x) = x+ 1 si x≥0
Repr´esenter la fonction fdans un rep`ere orthonorm´e.
Remarque : Continuit´e des fonctions en terminale ES
– Les fonctions polynˆomes et rationnelles (quotient de deux polynˆomes) sont continues sur leur ensemble de d´efinition.
Plus g´en´eralement, les fonctions vues en terminale ES sont continues sur leur domaine de d´efinition.
– Les fl`eches des tableaux de variations indiquent la continuit´e de la fonction consid´er´ee.
2 Th´eor`eme de la valeur interm´ediaire
2.1 introduction
Exemple 2 Conditions pour l’unicit´e de la solution de f(x) = k
On a repr´esent´e ci-dessous la courbe repr´esentative de chacune des fonctions f,g,het id´efinies sur I= [−2; 4] :
1. L’´equation f(x) = 1 (resp g(x) = 1 ; h(x) = 1 et i(x) = 1) admet-elle une solution unique sur I ?
2. En d´eduire les trois conditions suffisantes pour l’existence et l’unicit´e de la solution d’une ´equation de la forme
f(x) = k(avec kr´eel)
2.2 Th´eor`eme de la valeur interm´ediaire
Th´eor`emeTh´eor`eme de la valeur interm´ediaire
fest une fonction d´efinie sur un intervalle I= [a;b] (a < b) de R
Si fest continue et strictement monotone sur Ialors fprend une seule fois toute valeur comprise entre f(a)
et f(b)
Exemple 3
Montrer que l’´equation x3−2x2+ 12x−5 = 0 admet une solution unique sur R
On pourra poser f(x) = x3−2x2+ 12x−5 d´efinie sur R
2.3 Encadrement de la solution `a la calculatrice
1. Encadrement aux dixi`emes (exemple avec la solution αde l’exemple 3)
–Menu tabl (tableaux de valeurs)
– Entrer la fonction fconsid´er´ee
– S´electionner Rang pour ajuster le pas
– Choisir Xstart=0 ; Xend=1 ; Pitch=0,1 (tableau de valeurs avec xvariant de 0 `a 1 par pas de 0,1)
– Revenir `a l’´ecran pr´ec´edent (Quit ou Exit) puis s´electionner Tabl
– Trouver deux valeurs de Yencadrant 0 et noter les valeurs de xcorrespondantes.
Remarque : Arrondi de la solution :
Pour arrondir la solution aux dixi`emes, il faut encadrer aux centi`emes.
Pour arrondir aux centi`emes, il faut encadrer aux milli`emes......
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3 Limites et op´erations sur les limites
3.1 Cas d’ind´etermination
Voir tableaux du livre page 16 et 17
Cas d’ind´etermination
– Cas 1 Somme : Si lim
x→a
f(x)= +∞et lim
x→a
g(x)= −∞ alors la limite de la somme lim
x→a
f+gest ind´etermin´ee
– Cas 2 produit : Si lim
x→a
f(x)= ±∞ et lim
x→a
g(x)= 0 alors la limite du produit lim
x→a
f×gest ind´etermin´ee
– Cas 3 quotient : Si lim
x→a
f(x)= ±∞ et lim
x→a
g(x)= ±∞ alors la limite du quotient lim
x→a
f
gest ind´etermin´ee
Si lim
x→a
f(x)= 0 et lim
x→a
g(x)= 0 alors la limite du quotient lim
x→a
f
gest ind´etermin´ee
3.2 Fonctions polynˆomes
Propri´et´e Limite en ±∞
La limite d’une fonction polynˆome en ±∞ est ´egale `a la limite du terme de plus haut degr´e
Exemple 4
Soit fd´efinie sur Rpar f(x) = −2x3+ 5x−3
D´eterminer lim
x→+∞
f(x)
3.3 Fonctions rationnelles
Propri´et´eLimite en ±∞
La limite en d’une fonction rationnelle en ±∞ est ´egale `a la limite du rapport des termes de plus haut degr´e
Exemple 5 :Limites en l’infini
Soit fd´efinie sur Rpar f(x) = 2x−3
4x2+ 3
D´eterminer lim
x→+∞
f(x)
3.4 Limite d’un quotient
Limite d’une fonction rationnelle en un point o`u elle n’est pas d´efinie
– D´eterminer la limite du num´erateur
– D´eterminer la limite du d´enominateur
– D´eterminer la limite du quotient
Remarque : Cas du d´enominateur nul
Il faut souvent distinguer deux cas :
Si on cherche la limite quand x→1 e que le d´enominateur vaut 0 pour x= 1 alors il faut distinguer les cas x→1+
(x > 1) et x→1−(x < 1)
Exemple 6 : Limite d’un quotient
Soit fd´efinie sur R− {1}par f(x) = 3x2−2
x−1
D´eterminer la limite en x= 1 de f
3.5 Exemple d’ind´etermination
Exemple 7 Cas d’ind´etermination d’un quotient
Soit fd´efinie sur R− {−1}par f(x) = x2−1
x+ 1
D´eterminer la limite en x=−1 de f
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4 D´etermination de limites par comparaison
Th´eor`eme Comparaison
Soit fet gd´efinie sur I=]a; +∞[ telles que pour tout r´eel xde I on ait :
f(x)< g(x)
Si lim
x→+∞
f(x)= +∞alors lim
x→+∞
g(x)= +∞
et si lim
x→+∞
g(x)= −∞ alors lim
x→+∞
f(x)= −∞
Il en est de mˆeme quand x→ −∞
Th´eor`eme Th´eor`eme des «gendarmes »
Si f(x)< g(x)< h(x) et lim
x→+∞
f(x)= lim
x→+∞
h(x)= lalors lim
x→+∞
g(x)= l
avec lpouvant ˆetre ±∞
Il en est de mˆeme quand x→ −∞
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