Lycée Slave, section franco

Exercice 2 (7,5 points)
On considère sur
;0
la fonction f définie par:
xxx
xf 1ln 1
.
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal
),,( jiO
, d´unité graphique :
2 cm
1. a) Calculer f´(x) et montrer que f´(x) a le signe de lnx.
Étudier le sens de variation de f et en déduire le signe de f(x) pour x appartenant à
;0
.
b) Déterminer
)(lim xf
x
et
)(lim
0xf x
. Interpréter graphiquement ces résultats.
(Pour le calcul de
)(lim
0xf x
on pourra écrire f(x) sous la forme
xx
xf ln1 1
)
2. a) Résoudre l´équation
1xf
.
b) Résoudre l´inéquation
1xf
. En déduire la position de C par rapport à la droite Δ
d'équation y = 1.
3. Soit A le point d'intersection de C et de Δ . Déterminer l'équation de la tangente T à C
au point A.
4. Dans le repère
),,( jiO
, construire la tangente (T) et la courbe (C).
5. a) Soient u et g les fonctions définies par
xxu ln1)( 
et
x
x
xg ln1
1
)( 
.
Déterminer la fonction dérivée de u. En déduire une primitive de g.
b) Calculer
edx
xx
1
ln1
.
c) Calculer en
2
cm
, l´aire du plan limitée par la courbe C, l'axe
),( iO 
et les droites
d'équations x = 1 et x = e.
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à
2
10
près.
Barème – ex. 2
1. a) 0,5+0,25+0,5 +0,25= 1,5
b) 0,5+0,5+0,25=1,25
2. a) 0,5
b) 0,75
3. 0,5
4. 0,25+1
5. a) 0,25+0,5
b) 0,5
c) 0,5
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