Lycée Slave, section franco

Exercice 2 (7,5 points)
On considère sur 0; la fonction f définie par:
f x   1 
ln x 1
 .
x
x
 
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, i , j ) , d´unité graphique :
2 cm
1. a) Calculer f´(x) et montrer que f´(x) a le signe de lnx.
Étudier le sens de variation de f et en déduire le signe de f(x) pour x appartenant à
0;.
b) Déterminer lim f ( x) et lim f ( x ) . Interpréter graphiquement ces résultats.
x  
x 0
(Pour le calcul de lim f ( x ) on pourra écrire f(x) sous la forme f  x   1 
x 0
1  ln x
)
x
2. a) Résoudre l´équation f x   1 .
b) Résoudre l´inéquation f x   1 . En déduire la position de C par rapport à la droite Δ
d'équation y = 1.
3. Soit A le point d'intersection de C et de Δ . Déterminer l'équation de la tangente T à C
au point A .
 
4. Dans le repère (O, i , j ) , construire la tangente (T) et la courbe (C).
1
5. a) Soient u et g les fonctions définies par u( x )  1  ln x et g ( x )  1  ln x  .
x
Déterminer la fonction dérivée de u . En déduire une primitive de g .
e
1  ln x
b) Calculer 
dx .
x
1

c) Calculer en cm 2 , l´aire du plan limitée par la courbe C, l'axe (O, i ) et les droites
d'équations x = 1 e t x = e.
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 2 près.
Barème – ex. 2
1. a)
0,5+0,25+0,5 +0,25= 1,5
b)
0,5+0,5+0,25=1,25
2. a)
0,5
b)
0,75
3.
0,5
4.
0,25+1
5. a)
0,25+0,5
b)
0,5
c)
0,5
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