Devoir surveillé no 1

Facult´ e des Sciences et Techniques de Limoges 2007-08
Licence de Biologie, 3esemestre
S. Vinatier Compl´ements de Math´ematiques
Devoir surveill´e no1
24 octobre 2007 - dur´ee 1h30
Les documents et calculatrices, `a l’exclusion des t´el´ephones portables, sont autoris´es
pour un usage personnel. Les exercices sont ind´ependants.
Exercice 1
1. D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction : 1
(s+ 3)(s2+ 9) .
2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle :
y00(x)+2y0(x)−3y(x) = cos(3x)−1
3sin(3x),avec y(0) = y0(0) = 0 .
Exercice 2
1. D´eterminer les nombres a, b, c tels que
−s3−3s2+ 4 = (s+ 2)(as2+bs +c).
2. R´esoudre le syst`eme :
y0(x)+2z0(x)=4x
y(x)−z0(x)=2
avec conditions initiales : y(0) = 1 et z(0) = −1.
Exercice 3
1. D´ecomposer en ´el´ements simples les fractions :
2s−1
s2+ 2s−8,s+ 13 s2+ 2s−8.
2. On pose Y=L(y)(s) et Z=L(z)(s). ´ Ecrire la transform´ee de Laplace du syst`eme :
y0=y+ 5z
z0=y−3z
avec conditions initiales : y(0) = 1 et z(0) = 2.
En d´eduire que Y+Z=3
s−2; r´esoudre le syst`eme et conclure.

Exercice 4
On rappelle que L(f)0=− Lxf (x), o`u la d´eriv´ee est par rapport `a la variable s.
1. En d´eduire que L(xe−x) = 1
(s+ 1)2et que L(x2e−x) = 2 (s+ 1)3.
2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle :
y0(x) + y(x) = 4xe−x,avec y(0) = 0 .
Exercice 5
R´esoudre le syst`eme suivant d’inconnues les fonctions y1,y2et y3.
On posera Y1=L(y1)(s), Y2=L(y2)(s) et Y3=L(y3)(s).
2y0
1−y0 3=−1
y0
1+y0 2+y0 3= 6x+ 4
3y1+y0
2−3
2y3=−3 2x
avec les conditions initiales : y1(0) = −1, y2(0) = y3(0) = 0.