DM no6[pour le Ma03/03]
Mouvement d’une plan`ete autour du Soleil
➜Cf Cours M10
Une Plan`ete, de masse m, gravite autour du Soleil de masse Mm. On travaille dans le
r´ef´erentiel barycentrique R∗, suppos´e galil´een, centr´e sur le centre d’inertie Gdu syst`eme S=
{S, P }. Dans ce r´ef´erentiel, la r´eduction canonique permet l’´etude du mouvement d’un point
fictif, de masse µ, rep´er´e par −→
r=−−→
GK, de vitesse −→
v=−→
vK/R∗et soumis `a la force −→
f.
1) Expliciter µ,−→
r=−−→
GK et −→
fen fonction des donn´ees de l’´enonc´e.
2) Dans R∗, le moment cin´etique du syst`eme en Gvaut : −→
L∗=−→
LG/R∗(S) = −→
LG/R∗(K) =
−→
r×µ−→
v. D´emontrer que −→
L∗est constant et en d´eduire que le mouvement de Kdans R∗est
plan. On notera −→
ezle vecteur unitaire perpendiculaire `a ce plan.
On d´efinit le vecteur −→
C=
−→
L∗
µde norme C. Exprimer ω=dθ
dt, la vitesse angulaire de rotation
de K, en fonction de Cet de r.
3) D´emontrer qu’en coordonn´ees polaires, −→
a=−→
aK/R∗, l’acc´el´eration de Kdans R∗peut
s’´ecrire sous la forme :
−→
a=−C2u2d2u
dθ2+u−→
eravec u=1
r
En d´eduire un ´equation diff´erentielle d’ordre 2 v´erifi´ee par u.
4) `
A l’aide de la question pr´ec´edente, montrer que rpeut s’´ecrire : r=p
1 + ecos θ, o`u eest
l’excentricit´e du mouvement de K, et pun param`etre, dont on donnera l’expression en fonction
de µ,C,G,M, et m.
5) Pour quelles valeurs de ela trajectoire est-elle elliptique ? Montrer qu’alors le demi-grand
axe ade l’ellipse vaut a=p
1−e2.
6) On rappelle que si Kd´ecrit une ellipse, la surface Sde celle-ci vaut S=π.a.b avec ble
demi-petit axe de l’ellipse. On appelle Tla p´eriode de rotation du syst`eme autour de Get on
rappelle que p=b2
a.
En d´eduire la troisi`eme loi de K´
epler. Commenter ce r´esultat.
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