Equations différentielles en GEII

IUT de Nı̂mes
GEII 1-ère année
Outils Logiciels OL2
2013- 2014
Equations différentielles en GEII - TD no 1
Exercice 1 Décharge d’un condensateur électrique dans une résistance
Un condensateur de capacité C est préalablement chargé et la tension entre ses bornes est
égale à E. Il est déchargé à travers une résistance R.
R
vC (t)
C
i(t)
1) Quelle est la relation liant le courant i(t) et la tension vC (t) ?
2) A partir de la loi des mailles, exprimer l’équation différentielle du premier ordre pour
vC (t) ?
3) Résoudre alors l’équation différentielle et donner l’expression de la tension vC (t).
4) On note le produit RC par τ = RC, et on l’appelle constante de temps du circuit. Calculer la tension de vC (t) pour t = 0, t = τ , t = 3τ , t = 5τ .
Application numérique : R = 1 kΩ, C = 5mF et E = 10 V.
Exercice 2 Systèmes du premier ordre - circuits de base : Circuit R − C
R
ve (t)
vs (t)
C
i(t)
1) Quelle est la relation liant le courant i(t) et la tension vs (t) ?
2) A partir de la loi des mailles, exprimer l’équation différentielle du premier ordre liant ve (t)
et vs (t)
3) La tension d’entrée est constante : ve (t) = E, et la tension de sortie est initialement nulle
(condensateur déchargé).
a) Résoudre alors l’équation différentielle et donner l’expression de la tension de sortie
vs (t).
b) Si τ = RC, calculer la tension de sortie pour t = 0, t = τ , t = 3τ , t = 5τ .
4) La tension d’entrée est constante : ve (t) = E, et la tension de sortie est initialement égale
à E/2 (condensateur chargé).
a) Résoudre alors l’équation différentielle et donner l’expression de la tension de sortie
vs (t).
b) Si on note τ = RC, calculer la tension de sortie pour t = 0, t = τ , t = 3τ , t = 5τ .
Application numérique : R = 5 kΩ, C = 500µF et E = 5 V.
Exercice 3 Systèmes du premier ordre - circuits de base : Circuit L − R
L
ve (t)
vs (t)
R
i(t)
1) Quelle est la relation liant le courant i(t) et la tension vs (t) ?
2) A partir de la loi des mailles, exprimer l’équation différentielle du premier ordre liant ve (t)
et i(t).
3) La tension d’entrée est constante : ve (t) = E, et la tension de sortie est initialement nulle.
a) Résoudre alors l’équation différentielle et donner l’expression de la tension de sortie
vs (t).
b) Si on note τ = R/L, calculer la tension de sortie pour t = 0, t = τ , t = 3τ , t = 5τ .
Application numérique : R = 1Ω, L = 1H et E = 5 V.