Equations différentielles en GEII

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GEII 1-` ere ann´ ee
Outils Logiciels OL2
2013- 2014
Equations diff´erentielles en GEII - TD no1
Exercice 1 D´ echarge d’un condensateur ´ electrique dans une r´ esistance
Un condensateur de capacit´e Cest pr´ealablement charg´e et la tension entre ses bornes est
´egale `a E. Il est d´echarg´e `a travers une r´esistance R.
R
C
i(t)
vC(t)
1) Quelle est la relation liant le courant i(t)et la tension vC(t)?
2) A partir de la loi des mailles, exprimer l’´equation diff´erentielle du premier ordre pour
vC(t)?
3) R´esoudre alors l’´equation diff´erentielle et donner l’expression de la tension vC(t).
4) On note le produit RC par τ=RC, et on l’appelle constante de temps du circuit. Cal-
culer la tension de vC(t)pour t= 0,t=τ,t= 3τ,t= 5τ.
Application num´erique : R= 1 kΩ,C= 5mF et E= 10 V.
Exercice 2 Syst` emes du premier ordre - circuits de base : Circuit R−C
R
C
i(t)
ve(t)vs(t)
1) Quelle est la relation liant le courant i(t)et la tension vs(t)?
2) A partir de la loi des mailles, exprimer l’´equation diff´erentielle du premier ordre liant ve(t)
et vs(t)
3) La tension d’entr´ee est constante : ve(t) = E, et la tension de sortie est initialement nulle
(condensateur d´echarg´e).
a) R´esoudre alors l’´equation diff´erentielle et donner l’expression de la tension de sortie
vs(t).
b) Si τ=RC, calculer la tension de sortie pour t= 0,t=τ,t= 3τ,t= 5τ.
4) La tension d’entr´ee est constante : ve(t) = E, et la tension de sortie est initialement ´egale
`a E/2(condensateur charg´e).
a) R´esoudre alors l’´equation diff´erentielle et donner l’expression de la tension de sortie
vs(t).
b) Si on note τ=RC, calculer la tension de sortie pour t= 0,t=τ,t= 3τ,t= 5τ.
Application num´erique : R= 5 kΩ,C= 500µFet E= 5 V.

Exercice 3 Syst` emes du premier ordre - circuits de base : Circuit L−R
L
R
i(t)
ve(t)vs(t)
1) Quelle est la relation liant le courant i(t)et la tension vs(t)?
2) A partir de la loi des mailles, exprimer l’´equation diff´erentielle du premier ordre liant ve(t)
et i(t).
3) La tension d’entr´ee est constante : ve(t) = E, et la tension de sortie est initialement nulle.
a) R´esoudre alors l’´equation diff´erentielle et donner l’expression de la tension de sortie
vs(t).
b) Si on note τ=R/L, calculer la tension de sortie pour t= 0,t=τ,t= 3τ,t= 5τ.
Application num´erique : R= 1Ω,L= 1H et E= 5 V.