Feuille d`exercices n˚2 Nombres complexes (partie 1)

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI −2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚2
Nombres complexes (partie 1)
Rappel : Division euclidienne
Si a∈Net b∈N∗, alors il existe un unique q∈Net un unique r∈ {0,...,b−1}tels que :
a=qb +r.
Le nombre q(resp. r) est appel´e quotient (resp. reste) de la division euclidienne de apar b.
Exercice 2 (CNS pour que le carr´e d’un nombre complexe soit un nombre r´eel)
Soit z∈C. Donner une condition n´ec´essaire et suffisante sur zpour que z2soit un nombre r´eel.
Exercice 3 (Formes alg´ebriques de nombres complexes)
1. Donner la forme alg´ebrique de z1= (2 −3i)2.
2. Donner la forme alg´ebrique de z2=−3 + i
4−i.
3. Donner la forme alg´ebrique de z1
z2
.
Exercice 4 (Syst`eme lin´eaire 2×2`a coefficients complexes)
R´esoudre le syst`eme
iz1+ (1 + 2i)z2= 1 −i
(1 −2i)z1−3iz2= 1 −2i
d’inconnue (z1, z2) un couple de nombres complexes.
Exercice 5 (Puissances successives de iet de j)
Dans cet exercice, on se propose de calculer les puissances successives des nombres complexes iet j:= −1
2+i√3 2.
1. (a) Calculer i0,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9.
(b) Soit n∈N. Calculer in.
Indication : On pourra scinder l’´etude en plusieurs parties, suivant le reste de la division euclidienne
de npar un entier `a d´eterminer.
(c) Calculer i2013.
2. (a) Calculer j0,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7.
(b) Soit n∈N. Calculer jn.
Indication : On pourra scinder l’´etude en plusieurs parties, suivant le reste de la division euclidienne
de npar un entier `a d´eterminer.
(c) Calculer j2013 .
1

Exercice 6 (´ Equations polynomiales de degr´e 2)
1. (a) D´eterminer α∈Ret β∈Rtels que pour tout x∈R:
x2−6x+ 5 = (x+α)2+β(cf. forme canonique d’un trinˆome du second degr´e).
(b) R´esoudre l’´equation x2−6x+ 5 = 0, d’inconnue x∈R.
On pourra commencer par ´ecrire x2−6x+ 5 comme la diff´erence de deux carr´es de nombres r´eels,
en s’aidant de la question pr´ec´edente.
2. En s’inspirant de la d´emarche expos´ee en 1., r´esoudre :
(a) l’´equation x2−10
3x+ 1 = 0, d’inconnue x∈R;
(b) l’´equation x2−2x+ 2 = 0, d’inconnue x∈R;
(c) l’´equation z2−2z+ 2 = 0, d’inconnue z∈C;
(d) l’´equation z2+ (2 −i)z+ 9 + 13i= 0, d’inconnue z∈C;
(e) l’´equation 2iz2+ (2 −2i)z−6 + 12i= 0, d’inconnue z∈C.
Exercice 7 (D´eterminer deux nombres complexes `a partir de leur somme et de leur produit)
1. On se propose de r´esoudre le syst`eme (non lin´eaire)
(S)z1+z2= 23
z1z2= 132
d’inconnue (z1, z2) un couple de nombres complexes.
(a) Soit (z1, z2) un un couple de nombres complexes solution du syst`eme (S). Montrer qu’alors z1et z2
sont racines du polynˆome :
P:= X2−23X+ 132.
(b) En d´eduire qu’il n’y a que 4 couples solution possibles.
(c) Achever la r´esolution du syst`eme (S).
2. En s’inspirant de la d´emarche expos´ee en 1., r´esoudre :
(a) le syst`eme 
z1+z2=7
3
z1z2=2
3
,d’inconnue (z1, z2) un couple de nombres complexes ;
(b) le syst`eme 
z1+z2= 3
z1z2= 3 + i
,d’inconnue (z1, z2) un couple de nombres complexes.
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