Feuille d`exercices n˚13 Calculs dans l`ensemble des nombres

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 −2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚13
Calculs dans l’ensemble des nombres complexes
Exercice 196 : Soit z=−√2
2+i√2 2. Calculer znpour tout n∈N.
Exercice 197 : D´eterminer la forme alg´ebrique des nombres complexes suivants.
z1= (1 −i)(1 −2i)(1 −3i) ; z2= (2 + i)5;z3=1
12 −5i;z4=1−i 3+2i
Exercice 198 : On pose j=−1
2+√3 2.
1. Calculer j2.
2. En d´eduire les relations suivantes.
a) 1 + j+j2= 0 b) j3= 1 c) 1
j=j2=j
Exercice 199 : D´ebusquer l’intrus parmi les nombres complexes suivants.
z1= (2 −i)3z2= 8 + i z3=9 + 13i
i−1z4= 2 −11i z5=4 1 + i+9 i
Exercice 200 : Soit α=3−i
5+7iet β=3 + i 5−7i. D´emontrer sans calcul que α+βest un nombre r´eel et que
α−βest un nombre complexe imaginaire pur.
Exercice 201 : R´esoudre dans Cles ´equations suivantes.
(E1) : (3 + 5i)z= 1 −z(E2) : 1
z+i= 3 + i(E3) : z+ 1 z−1= 2i
(E4) : iz = 1 −i(E5) : (iz + 1)(z+ 3i) = 0 (E6) : 1+2iz
1+2z=iz−1 z+ 3
Exercice 202 : R´esoudre dans Cle syst`eme lin´eaire (S) d´efini par :
(S) : (1 + i)z1−2i z2= 2 + i
2i z1−(1 −i)z2= 3i.
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Exercice 203 : Montrer que la matrice A=i1
2−i1−i∈ M2(C) est inversible et calculer A−1.
Exercice 204 : R´esoudre dans Cles ´equations suivantes.
(E1) : z2+ 106= 0 (E2) : z2=z+ 1
(E3) : z2=z−1 (E4) : z2+ 2z+ 5 = 0
(E5) : z2−√3z+ 31 = 0 (E6) : z2−4z+ 13 = 0
(E7) : (z2+ 1)(z2+ 2) . . . (z2+ 10) = 0 (E8) : (z2−6z+ 10)(z2+ 3z+ 1) = 0
FExercice 205 : Le but de cet exercice est de r´esoudre dans Cl’´equation
(E) : z4−(1 + √2) z3+ (2 + √2) z2−(1 + √2) z+ 1 = 0.
1. R´esoudre dans Cl’´equation :
z2−(1 + √2) z+√2=0.
On pourra utiliser l’identit´e p3−2√2 = √2−1, qui d´ecoule du fait que √2−1>0 et (√2−1)2= 3−2√2.
2. R´esoudre dans Cles ´equations :
z+1
z= 1 et z+1 z=√2.
3. Pour tout z∈C, on pose
P(z) = z4−(1 + √2) z3+ (2 + √2) z2−(1 + √2) z+ 1.
(a) Soit z∈C∗. Exprimer P(z)
z2en fonction de Z=z+1 z.
(b) R´esoudre l’´equation (E).
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