Classe préparatoire ATS mathématiques Fiche d`exercices

Classe préparatoire ATS
Fiche d’exercices : équations différentielles
mathématiques
Exercice 1 Résoudre sur R et préciser la solution qui vaut y0 à l’instant t = 0 :
y 0 − 3y = 2,
y 0 + 2y = e2t ,
y 0 − 3t2 y = t2 ,
y 0 + ty = t3 ,
y 0 − 5y = e5t ,
y 0 − y = sin(t).
Exercice 7 (Oscillation d’un ressort)
Nous allons décrire le mouvement d’un objet de masse m fixé à l’extrémité d’un
ressort (en position verticale) de raideur k qu’on étire d’une certaine longueur et qu’on
lache. On repère la position de la masse par son ordonnée z(t) à l’instant t sur un axe
vertical orienté vers le bas et dont l’origine est le point d’attache du ressort.
On note ` la longueur à vide du ressort et g la constante gravitationnelle.
1. On suppose dans cette question qu’il n’y a pas de force de frottement.
(a) Montrer que z vérifie l’équation différentielle
Exercice 2 Résoudre les équations suivantes sur l’intervalle précisé :
i π πh
i π πh
, y 0 + tan(x)y = cos3 (x) sur − ;
,
y 0 + tan(x)y = sin(x) sur − ;
2 2
2 2
(1 + x2 )y 0 + 2xy = 1
mg
m 00
z +z =
+ `.
k
k
(b) On suppose qu’à l’instant t = 0, l’objet se situe à hauteur z0 et que sa
vitesse est nulle. En résolvantp
l’équation précédente, exprimer z(t) en faisant
intervenir la constante ω0 = k/m, appelée pulsation propre du système.
sur R.
Tracer l’allure du graphe de z. À quel type de mouvement a-t-on affaire ?
Exercice 3
1. Étudier la dérivabilité et calculer la dérivée de f : ]1, +∞[ → R.
√
t 7→ ln(t + t2 − 1)
2. Résoudre sur ]1, +∞[ l’équation différentielle (E) : y 0 −
(t − 1)
y
=√
·
t−1
t2 − 1
2. On suppose maintenant que la masse est plongée dans un liquide qui provoque
une force de frottement opposée au mouvement et proportionnelle à la vitesse,
α
. La constante ξ est appelée le facteur
dont la norme vaut αz 0 . On pose ξ = √
2 mk
d’amortissement du système.
(a) Montrer que z vérifie l’équation différentielle :
Exercice 4 Soit (E) l’équation différentielle du premier ordre xy 0 + y = 3x2 .
z 00 + 2ξω0 z 0 + ω02 z = g + ω02 `.
1. Résoudre cette équation sur ]0 ; +∞[ , puis sur ] − ∞ ; 0[.
(b) Avec les mêmes conditions initiales qu’à la question précédente, déterminer
l’expression de z(t) distinguant trois cas suivant la valeur de ξ.
2. Existe-t-il des solutions de cette équation sur R ?
Exercice 5 Résoudre les équations suivantes et préciser la solution qui vérifie les
conditions de Cauchy y(0) = y0 et y 0 (0) = y00 :
00
0
y − 5y + 6y = 0,
00
0
y + 4y = 0
Exercice 8 Devoir maison
On considère l’équation différentielle
y 00 − 2y 0 + 2y = 0
Exercice 6 Résoudre sur R les équations suivantes :
y 00 + 2y 0 − 8y = e3t ,
00
0
y − 10y + 41y = sin(t),
(E) :
y 00 − 3y 0 − 18y = t e4t ,
00
À quel type de mouvement a-t-on affaire dans chacun des cas ?
00
y − 3y = 0,
y 00 + 4y 0 + 4y = 0,
Tracer pour chaque cas l’allure du graphe de z.
0
t
y − 2y + 2y = sin(t) e ,
y 00 − 4y 0 + 3y = 2 et −3 cos(2t).
(1 + x)y 0 + y =
1
1+x
où y est une fonction de la variable x, définie et dérivable pour x ∈]−1; +∞[. Résoudre
l’équation (E), puis déterminer la solution de l’équation (E) vérifiant y(0) = 2.