Classe préparatoire ATS mathématiques Fiche d`exercices

Classe pr´eparatoire ATS math´ematiques
Fiche d’exercices : ´equations diff´erentielles
Exercice 1 R´esoudre sur Ret pr´eciser la solution qui vaut y0`a l’instant t= 0 :
y0−3y= 2, y0−3t2y=t2, y0+ty =t3,
y0+ 2y= e2t, y0−5y= e5t, y0−y= sin(t).
Exercice 2 R´esoudre les ´equations suivantes sur l’intervalle pr´ecis´e :
y0+ tan(x)y= sin(x) sur i−π
2;π 2h, y0+ tan(x)y= cos3(x) sur i−π 2;π 2h,
(1 + x2)y0+ 2xy = 1 sur R.
Exercice 3
1. ´ Etudier la d´erivabilit´e et calculer la d´eriv´ee de f: ]1,+∞[→R.
t7→ ln(t+√t2−1)
2. R´esoudre sur ]1,+∞[ l’´equation diff´erentielle (E) : y0−y
t−1=(t−1)
√t2−1·
Exercice 4 Soit (E) l’´equation diff´erentielle du premier ordre xy0+y= 3x2.
1. R´esoudre cette ´equation sur ]0 ; +∞[ , puis sur ] − ∞ ; 0[.
2. Existe-t-il des solutions de cette ´equation sur R?
Exercice 5 R´esoudre les ´equations suivantes et pr´eciser la solution qui v´erifie les
conditions de Cauchy y(0) = y0et y0(0) = y0
0:
y00 −5y0+ 6y= 0, y00 −3y0= 0, y00 + 4y= 0
y00 + 4y0+ 4y= 0, y00 −2y0+ 2y= 0
Exercice 6 R´esoudre sur Rles ´equations suivantes :
y00 + 2y0−8y= e3t, y00 −3y0−18y=te4t,
y00 −10y0+ 41y= sin(t), y00 −2y0+ 2y= sin(t) et,
y00 −4y0+ 3y= 2 et−3 cos(2t).
Exercice 7 (Oscillation d’un ressort)
Nous allons d´ecrire le mouvement d’un objet de masse mfix´e `a l’extr´emit´e d’un
ressort (en position verticale) de raideur kqu’on ´etire d’une certaine longueur et qu’on
lache. On rep`ere la position de la masse par son ordonn´ee z(t) `a l’instant tsur un axe
vertical orient´e vers le bas et dont l’origine est le point d’attache du ressort.
On note `la longueur `a vide du ressort et gla constante gravitationnelle.
1. On suppose dans cette question qu’il n’y a pas de force de frottement.
(a) Montrer que zv´erifie l’´equation diff´erentielle
m
kz00 +z=mg k+`.
(b) On suppose qu’`a l’instant t= 0, l’objet se situe `a hauteur z0et que sa
vitesse est nulle. En r´esolvant l’´equation pr´ec´edente, exprimer z(t) en faisant
intervenir la constante ω0=pk/m, appel´ee pulsation propre du syst`eme.
Tracer l’allure du graphe de z.` A quel type de mouvement a-t-on affaire ?
2. On suppose maintenant que la masse est plong´ee dans un liquide qui provoque
une force de frottement oppos´ee au mouvement et proportionnelle `a la vitesse,
dont la norme vaut αz0. On pose ξ=α
2√mk . La constante ξest appel´ee le facteur
d’amortissement du syst`eme.
(a) Montrer que zv´erifie l’´equation diff´erentielle :
z00 + 2ξω0z0+ω2
0z=g+ω2 0`.
(b) Avec les mˆemes conditions initiales qu’`a la question pr´ec´edente, d´eterminer
l’expression de z(t) distinguant trois cas suivant la valeur de ξ.
Tracer pour chaque cas l’allure du graphe de z.
`
A quel type de mouvement a-t-on affaire dans chacun des cas ?
Exercice 8 Devoir maison
On consid`ere l’´equation diff´erentielle
(E) : (1 + x)y0+y=1
1 + x
o`u yest une fonction de la variable x, d´efinie et d´erivable pour x∈]−1; +∞[. R´esoudre
l’´equation (E), puis d´eterminer la solution de l’´equation (E) v´erifiant y(0) = 2.