Nombres complexes - LAMA

Université de Savoie
2003–04
Licence ST-1
Mathématiques
Série 2 : Nombres complexes (1 séance).
√
Exercice 1. On considère les deux nombres complexes z1 = 1 + i et z2 = 3 + i.
Déterminer leurs modules et leurs arguments, les écrire sous forme exponentielle puis les représenter
π
π
z1
graphiquement. Déduire cos
et sin
en utilisant .
12
12
z2
Exercice 2.
Pour θ ∈ [0, 2π], on pose z = sin 2θ + i(1 + cos 2θ). Déterminer les module et
argument de z en fonction de θ.
z
.
1−i
1. Calculer Re Z, Im Z, Re Z 2 , Im Z 2 en fonction de x et y.
Exercice 3.
Soient z = x + iy ,(x, y) ∈ R2 et Z =
2. Quelle relation doit lier x et y pour que Z 2 soit réel ?
3. Déterminer z tel que Re Z = 5 et Z 2 ∈ R.
4. Résoudre Z 2 = 4.
Exercice 4.
5πi
Représenter graphiquement e 12 et 2e
−iπ
4
.
Exercice 5. Trouver les parties réelles et imaginaires des nombres complexes suivants :
(1 + 2i)2 − (1 − i)3
(2 + i)3 + (1 − i)2
et
.
(3 + 2i)3 − (2 + i)2
1 + i + (2i − 1)2
Exercice 6.
1.
z2
Résoudre dans C les équations suivantes :
+ z + 1 = 0;
2. (4 + 2i)z 2 − 2(3 + 2i)z + 2 − i = 0.
3. z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0
4. z 2 − 2(1 + ia2 )z + (1 − a4 ) = 0, a ∈ R.
(1 − i)p
, où n et p sont des entiers naturels.
(1 + i)n
Exercice 7.
Calculer z =
Exercice 8.
Résoudre : z n =
1 + ia
, a ∈ R (poser a = tan α).
1 − ia
Exercice 9.
Trouver √tous les nombres complexes solutions de l’équation z 5 = 1. Même
question avec z 3 = (1 + i 3)/2. Existe-t-il des solutions communes de ces deux équations ?
Exercice 10.
√
√
1. Résoudre dans C l’équation : z 2 − (1 + 2)z + 2 = 0.
1
1 √
2. Résoudre dans C les équations : z + = 1, et z + = 2.
z
√z
√
√
3. Soit P (z) le polynôme tel que : P (z) = z 4 − (1 + 2)z 3 + (2 + 2)z 2 − (1 + 2)z + 1.
√
√
1 2
P (z)
1
Vérifier que : ∀z ∈ C∗ ,
=
(z
+
)
−
(1
+
2)(z
+
)
+
2.
z2
z
z
En utilisant ce qui précède, résoudre l’équation P (z) = 0.
Exercice 11.
On pose X =
appartiennent à C.
z − z0
1 − zz 0
z + z0
,
Y
=
i
,
Z
=
où les nombres z et z 0
1 + zz 0
1 + zz 0
1 + zz 0
1. Montrer que X 2 + Y 2 + Z 2 = 1.
2. Montrer que X, Y et Z sont réels, si et seulement si, z 0 = z̄.