Nombres complexes - LAMA

Universit´e de Savoie Licence ST-1
2003–04
Math´ematiques
S´erie 2 : Nombres complexes (1 s´eance).
Exercice 1. On consid`ere les deux nombres complexes z1= 1 + iet z2=√3 + i.
D´eterminer leurs modules et leurs arguments, les ´ecrire sous forme exponentielle puis les repr´esenter
graphiquement. D´eduire cos π
12 et sin π 12 en utilisant z1 z2
.
Exercice 2. Pour θ∈[0,2π], on pose z= sin 2θ+i(1 + cos 2θ). D´eterminer les module et
argument de zen fonction de θ.
Exercice 3. Soient z=x+iy ,(x, y)∈R2et Z=z
1−i.
1. Calculer Re Z, Im Z, Re Z2, Im Z2en fonction de xet y.
2. Quelle relation doit lier xet ypour que Z2soit r´eel ?
3. D´eterminer ztel que Re Z= 5 et Z2∈R.
4. R´esoudre Z2= 4.
Exercice 4. Repr´esenter graphiquement e5πi
12 et 2e
−iπ
4.
Exercice 5. Trouver les parties r´eelles et imaginaires des nombres complexes suivants :
(1 + 2i)2−(1 −i)3
(3 + 2i)3−(2 + i)2et (2 + i)3+ (1 −i)2 1 + i+ (2i−1)2.
Exercice 6. R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
1. z2+z+ 1 = 0 ;
2. (4 + 2i)z2−2(3 + 2i)z+ 2 −i= 0.
3. z2−(5 −14i)z−2(5i+ 12) = 0
4. z2−2(1 + ia2)z+ (1 −a4) = 0, a∈R.
Exercice 7. Calculer z=(1 −i)p
(1 + i)n, o`u net psont des entiers naturels.
Exercice 8. R´esoudre : zn=1 + ia
1−ia,a∈R(poser a= tan α).
Exercice 9. Trouver tous les nombres complexes solutions de l’´equation z5= 1. Mˆeme
question avec z3= (1 + i√3)/2. Existe-t-il des solutions communes de ces deux ´equations ?
Exercice 10.
1. R´esoudre dans Cl’´equation : z2−(1 + √2)z+√2 = 0.
2. R´esoudre dans Cles ´equations : z+1
z= 1, et z+1 z=√2.
3. Soit P(z) le polynˆome tel que : P(z) = z4−(1 + √2)z3+ (2 + √2)z2−(1 + √2)z+ 1.
V´erifier que : ∀z∈C∗,P(z)
z2= (z+1 z)2−(1 + √2)(z+1 z) + √2.
En utilisant ce qui pr´ec`ede, r´esoudre l’´equation P(z) = 0.
Exercice 11. On pose X=z+z0
1 + zz0,Y=iz−z0 1 + zz0,Z=1−zz0 1 + zz0o`u les nombres zet z0
appartiennent `a C.
1. Montrer que X2+Y2+Z2= 1.
2. Montrer que X,Yet Zsont r´eels, si et seulement si, z0= ¯z.