RÉVISIONS Éric OLIVIER, Alain THOMAS Intégrales et dérivées

R´ EVISIONS ´ Eric OLIVIER, Alain THOMAS
Int´egrales et d´eriv´ees
———————————– QUESTION 1 ———————————–
La d´eriv´ee de (t+ 1)e−test ......................... .
Zt
−1
xe−xdx = ......................... .
La d´eriv´ee de tln t−test ......................... .
Z2
1
ln x dx = ......................... .
———————————– QUESTION 2 ———————————–
Zt
1
1
x2dx = ......................... .
La d´eriv´ee de t
1 + t2est ......................... .
Z1
0
x
1 + x2dx = ......................... .
———————————– QUESTION 3 ———————————–
La d´eriv´ee de cos 2t+π
3est ......................... .
Zπ
6
0
cos 2t+π
3dt = ......................... .
La d´eriv´ee de ln(cos t) est ......................... pour t∈......................... .
Zπ
3
0
tan x dx = ......................... .
1

Calcul de limites
———————————– QUESTION 1 ———————————–
lim
x→+∞
xex= ......................... .
lim
x→+∞
ex
x2= ......................... .
lim
x→+∞
e−x
x2= ......................... .
lim
x→−∞
x2ex= ......................... .
———————————– QUESTION 2 ———————————–
lim
x→−∞
2x+1
x
x+ 1 = ......................... .
lim
x→+∞
√x2+ 1
x+ 1 = ......................... .
lim
x→−1
x2−1
x+ 1 = ......................... .
lim
x→1
x>1
x+ 1
x2−1= ......................... .
———————————– QUESTION 3 ———————————–
lim
x→+∞
xln x= ......................... .
lim
x→0xln x= ......................... .
lim
x→+∞
ln x
x2= ......................... .
lim
x→+∞
1
xln (x+ex) = ......................... .
2

Pratique de l’int´egration par parties
´
Etant donn´es et deux nombres r´eels quelconques, on se propose de calculer les deux
int´egrales suivantes:
A=Zb
a
xe2xdx et B=Zb
a
x2e2xdx.
———————————– QUESTION 1 ———————————–
En int´egrant par parties avec u0=e2xet v=xon obtient
A=h......................... ib
a−Zb
a
......................... .
La valeur de Aest donc ......................... .
En int´egrant par parties avec u0=xet v=e2xon obtient
A=h......................... ib
a−Zb
a
......................... .
La valeur de Best donc ......................... .
———————————– QUESTION 2 ———————————–
En utilisant les r´esultats de la question pr´ec´edente,
Z1
2
0
xe2xdx = ......................... ,
Z1
0
x2e2xdx = ......................... ,
Zx
0
(t2+t)e2tdt = ......................... .
3

Nombres complexes : forme exponentielle et alg´ebrique
Sur la figure ci-dessous sont trac´es un carr´e de cot´e 4 centr´e au point O, ainsi qu’un
hexagone r´egulier ayant deux sommets communs avec le carr´e. On note z1, z2, z3les
affixes respectives des points A1, A2, A3.
Question 1 – ´ Ecrire les nombres complexes zpropos´es sous forme exponentielle, c’est
`a dire sous la forme
z=|z|eiθ .
Question 2 – ´ Ecrire les nombres complexes zpropos´es sous forme exponentielle (z=|z|eiθ )
puis sous forme alg´ebrique (z=x+iy).
———————————– QUESTION 1 ———————————–
On a z2= ......................... et z3= ......................... .
L’argument de z1
z2
est la mesure de l’angle entre les vecteurs ......................... et ......................... .
D’o`u arg z1
z2= ......................... , z1 z2
= ......................... et z1= ......................... .
———————————– QUESTION 2 ———————————–
z2z3
2= ......................... = ......................... , z1 z2
= ......................... = ......................... ,
1 + i
z1
= ......................... = ......................... , (z1+z3)3= ......................... = ......................... .
4