Exercice 1 1. Pour quelles valeurs de x les expressions suivantes

Exercice 1
1. Pour quelles valeurs de xles expressions suivantes ont-elles un sens ?
(a) ln(x−1) + ln(x+ 1)
(Rappel : ln ∆ existe ⇔∆>0)
Pour que l’expression proposée soit définie, il faut et il suffit que les
deux conditions suivantes soient réalisées :
x+ 1 >0
x−1>0
Ce qui équivaut à x > 1et x > −1donc x > 1
ln(x−1) + ln(x+ 1) est définie sur ]1; +∞[.
(b) ln 1−x
x+ 2
Selon le même principe que précédemment, il faut et il suffit que
1−x
x+ 2 soit strictement positive.
x−∞ −21+∞
Signe de 1−x+ + 0-
Signe de x+ 2 -0+ +
Signe de 1−x
x+ 2 -k+0-
En conclusion, l’expression existe si, et seulement si, x∈]−2; 1[.
2. Ecrire plus simplement les nombres suivants :
(a) eln 2 + ln e3= 2 + 3 = 5
(b) e2+ln 8 =e2×eln 8 = 8e2
(c) e−ln 3 +e2
3
(Attention ici : on connait la formule eln a=a, mais il n’y a pas de
formule concernant e−ln a)
(Il n’y a aucune formule non plus concernant ea+eb)
e−ln 3 +e2
3=eln 1 3+2
3=1 3+2 3= 1
Exercice 2
Résoudre : (Attention : dans toutes les équations et inéquations comportant des
ln, il faut veiller à ce que les solutions potentielles soient dans le domaine de
validité de l’équation.)
1G.Gremillot

•ln 2x= ln(x2−1)
En raison de la stricte croissance de la fonction ln :
ln 2x= ln(x2−1) ⇔2x=x2−1⇔x2−2x−1 = 0
∆=8donne les solutions potentielles :
x1=2−√8
2= 1 −√2et x2=2 + √8 2= 1 + √2.
x1est à rejeter car elle est négative et donc ln 2x1n’existe pas.
x2convient, vu que 2x2>0et x2
2−1>0.
L’équation possède une seule solution qui est 1 + √2.
•ln 2x≥ln(x2−1)
Il faut 2x > 0et x2−1>0, soit x > 0et (x∈]− ∞;−1[ ou x∈]1; +∞[),
ce qui se résume à x∈]1; +∞[qui est donc le domaine de validité de
l’inéquation.
Pour tout xsitué dans la domaine de validité de cette inéquation, et en
raison de la croissance de la fonction ln, on a :
ln 2x≥ln(x2−1) ⇔2x≥x2−1⇔x2−2x−1≤0⇔x∈[1−√2; 1+√2]
On doit "cumuler" les deux conditions x∈]1; +∞[et x∈[1 −√2; 1 + √2].
Ainsi les solutions de l’inéquation sont les réels de ]1,1 + √2].
•e2x+5 = 5
(Ici, il n’y a aucun problème de validité puisque l’exponentielle est définie
sur R)
e2x+5 = 5 ⇔ln(e2x+5) = ln 5 ⇔2x+ 5 = ln 5 ⇔x=ln 5 −5
2
Exercice 3
fest définie sur ]0; +∞[par f(x) = x2−8x+ 8 + 6 ln x
Etudier les variations de fet tracer sa courbe représentative.
Df=]0; +∞[puisque fcontient un ln x.
lim
x→0+f(x) = −∞ car lim x→0+ln x=−∞.
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
x2(1 −8
x+8 x2) + 6 ln x= +∞car lim
x→+∞ln x= +∞
fest dérivable sur son domaine de définition et :
f0(x) = 2x−8 + 6
x=2x2−8x+ 6 x=2(x2−4x+ 3) x
Les racines du trinôme x2−4x+ 3 sont x1= 1 et x2= 3 et ce trinôme est
positif à l’extérieur des racines, négatif sinon :
2G.Gremillot

x0 1 3 +∞
f0(x)+0-0+
1 +∞
f(x)
: XXXXXz :
−∞ 6 ln 3 −6
Exercice 4
fest la fonction définie sur I=]0; +∞[par :
f(x) = x+ 1 −ln x
x
1. Pourquoi la droite dd’équation y=x+ 1 est-elle asymptote à la courbe
Creprésentative de f?
On sait que lim
x→+∞
ln x
x= 0 (Résultat du cours), alors :
lim
x→+∞[f(x)−(x+ 1)] = lim x→+∞−ln x
x= 0
3G.Gremillot

ce qui implique que la droite dd’équation y=x+ 1 est-elle asymptote à
la courbe Cquand x→+∞.
2. Etudier les positions relatives de Cet d.
f(x)−(x+ 1) = −ln x
x.xétant positif (d’après le domaine de définition
de f), cette expression est du signe de −ln x, soit donc :
– positive si x∈]0; 1] auquel cas Cest au-dessus de d.
– négative si x≥1auquel cas Cest au dessous de d.
4G.Gremillot