Niveau : 4 Maths Lycée Ibn Khaldoun DEVOIR DE CONTROLE N°1 Durée : 2heures Niveau : 4 Maths Exercice 1 : I. (4 points) Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte. 1) Soit, dans , l’équation E : z2 2 1 i z 13 2 3 i 0 . On note z1 et z2 les solutions de E .Une mesure de arg z1 z2 est a) 4 b) 3 4 i 2 2) Le module du nombre complexe 1 e 3 est égal à a) 1 b) 2 II. 5 4 c) c) 2 Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée. On considère trois suites un , vn et wn ayant, pour tout entier naturel n , les propriétés suivantes : un vn wn , lim un 1 et lim wn 1 . n n 1) lim vn 0 . n 2) La suite vn est bornée. 3) Pour tout entier n , on a : 1 vn 1 . 4) On ne sait pas dire si la suite vn a une limite ou non. Exercice 2 : (5 points) x 1 cos x f x x Soit f la fonction définie par f x x2 x 1 x si x 0 si x 0 1) Calculer lim f x . Interpréter géométriquement le résultat obtenu. x 2) Montrer que, pour tout x 0 , 3) Montrer que f est continue sur x2 f x 1 et en déduire lim f x . x x . 1 4) Montrer que l’équation f x 0 admet une solution dans ,0 . 2 1 Nov. 2015 Exercice 3 : (5 points) On considère la suite un définie par u0 0 et pour tout entier naturel n , un 1 1) 3un 4 a) Montrer que un est majorée par 4. b) Montrer que un est strictement croissante. c) En déduire que un converge et déterminer sa limite. 2) a) Montrer que pour tout entier naturel n , on a : 4 un1 1 4 un 2 n 1 b) En déduire que pour tout entier naturel n , on a : 4 un 4 . 2 c) Retrouver alors le résultat de 1) c). Exercice 4 : (6 points) 1) Résoudre, dans , l’équation : 2 z2 3 3 i z 1 3 i 0 Dans la suite le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O,u, v . 2) On considère les points A et B d’affixes respectives zA 1i 3 et zB izA . 2 On désigne par I le milieu de AB et on note zI l’affixe de I. a) Donner la forme exponentielle de z A et zB . b) Placer les points A, B et I dans le repère O,u, v . 3) a) Montrer que le triangle OAB est isocèle et rectangle. b) En déduire que OI 7 2 et que u,OI 2 . 2 12 7 . 12 c) Ecrire zC sous la forme algébrique et en déduire la valeur exacte de cos 2 Nov. 2015