2heures

1 Nov. 2015
Exercice 1 : (4 points)
I. Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est
exacte.
1) Soit, dans , l’équation
2
E : z 2 1 i z 13 2 3 i 0    
. On note
1
z
et
2
z
les
solutions de
E
.Une mesure de
12
arg z z
est
a)
4
b)
3
4
c)
5
4
2) Le module du nombre complexe
2
i3
1e
est égal à
a)
1
b)
2
c)
2
II. Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée.
On considère trois suites
n
u
,
n
v
et
n
w
ayant, pour tout entier naturel
n
, les
propriétés suivantes :
n n n
u v w
,
n
n
lim u 1
et
n
n
lim w 1
.
1)
n
n
lim v 0
.
2) La suite
n
v
est bornée.
3) Pour tout entier
n
, on a :
n
1 v 1  
.
4) On ne sait pas dire si la suite
n
v
a une limite ou non.
Exercice 2 : (5 points)
Soit
f
la fonction définie par
2
x 1 cos x
f x si x 0
x
f x x x 1 x si x 0
1) Calculer
x
lim f x
. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2) Montrer que, pour tout
x0
,
x2 f x 1
x
et en déduire
x
lim f x
.
3) Montrer que
f
est continue sur .
4) Montrer que l’équation
f x 0
admet une solution dans
1,0
2
.
Niveau : 4 Maths Lycée Ibn Khaldoun
DEVOIR DE CONTROLE N°1 Durée : 2heures
Niveau : 4 Maths

2 Nov. 2015
Exercice 3 : (5 points)
On considère la suite
n
u
définie par
0
u0
et pour tout entier naturel
n
,
n 1 n
u 3u 4
1)
a) Montrer que
n
u
est majorée par 4.
b) Montrer que
n
u
est strictement croissante.
c) En déduire que
n
u
converge et déterminer sa limite.
2)
a) Montrer que pour tout entier naturel
n
, on a :
n 1 n
1
4 u 4 u
2
b) En déduire que pour tout entier naturel
n
, on a :
n
n
1
4 u 4 2
.
c) Retrouver alors le résultat de 1) c).
Exercice 4 : (6 points)
1) Résoudre, dans , l’équation :
2
2 z 3 3 i z 1 3 i 0    
Dans la suite le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
O,u,v
.
2) On considère les points A et B d’affixes respectives
A
1 i 3
z2
et
BA
z iz
.
On désigne par I le milieu de
AB
et on note
I
z
l’affixe de I.
a) Donner la forme exponentielle de
A
z
et
B
z
.
b) Placer les points A, B et I dans le repère
O,u,v
.
3)
a) Montrer que le triangle OAB est isocèle et rectangle.
b) En déduire que
2
OI 2
et que
7
u,OI 2
12
.
c) Ecrire
C
z
sous la forme algébrique et en déduire la valeur exacte de
7
cos 12
.