2heures

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Niveau : 4 Maths
Lycée Ibn Khaldoun
DEVOIR DE CONTROLE N°1
Durée : 2heures
Niveau : 4 Maths
Exercice 1 :
I.
(4 points)
Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est
exacte.
1) Soit, dans
, l’équation
E : z2  2 1  i z 
13  2 3 i  0 . On note z1 et z2 les
solutions de E .Une mesure de arg  z1  z2  est
a)

4
b)
3
4
i
2
2) Le module du nombre complexe 1  e 3 est égal à
a) 1
b) 2
II.
5
4
c)
c) 2
Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée.
On considère trois suites un  ,  vn  et  wn  ayant, pour tout entier naturel n , les
propriétés suivantes : un  vn  wn , lim un  1 et lim wn  1 .
n 
n  
1) lim vn  0 .
n 
2) La suite  vn  est bornée.
3) Pour tout entier n , on a : 1  vn  1 .
4) On ne sait pas dire si la suite  vn  a une limite ou non.
Exercice 2 :
(5 points)

x  1  cos  x 
f  x  
x
Soit f la fonction définie par 
 f x  x2  x  1  x
  
si x  0
si x  0
1) Calculer lim f  x  . Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
x 
2) Montrer que, pour tout x  0 ,
3) Montrer que f est continue sur
x2
 f  x   1 et en déduire lim f  x  .
x 
x
.
 1

4) Montrer que l’équation f  x   0 admet une solution dans   ,0  .
 2 
1
Nov. 2015
Exercice 3 :
(5 points)
On considère la suite un  définie par u0  0 et pour tout entier naturel n , un 1 
1)
3un  4
a) Montrer que un  est majorée par 4.
b) Montrer que un  est strictement croissante.
c) En déduire que un  converge et déterminer sa limite.
2)
a) Montrer que pour tout entier naturel n , on a : 4  un1 
1
 4  un 
2
n
1
b) En déduire que pour tout entier naturel n , on a : 4  un  4   .
2
c) Retrouver alors le résultat de 1) c).
Exercice 4 :
(6 points)
1) Résoudre, dans
, l’équation : 2 z2  3


3 i z 1 3 i  0


Dans la suite le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O,u, v .
2) On considère les points A et B d’affixes respectives zA 
1i 3
et zB  izA .
2
On désigne par I le milieu de AB et on note zI l’affixe de I.
a) Donner la forme exponentielle de z A et zB .


b) Placer les points A, B et I dans le repère O,u, v .
3)
a) Montrer que le triangle OAB est isocèle et rectangle.
b) En déduire que OI 


7
2
et que u,OI 
2 .
2
12  
 7 
.
 12 
c) Ecrire zC sous la forme algébrique et en déduire la valeur exacte de cos 
2
Nov. 2015
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