Feuille d`exercices no 5 — Intégration

Universit´e Bordeaux 1 Ann´ee 2010-2011
MHT 204
Feuille d’exercices no5 — Int´egration
Exercice 1
Calculer les int´egrales suivantes (on pourra int´egrer par parties).
C1=Z1
0
(x−1)e−xdx ;C2=Z1
0
arctan x dx ;
C3=Z1
0
(x2+ 1) cos x dx ;C4=Z2
1
(3x2+x+ 1) ln x dx.
Exercice 2
Calculer les int´egrales suivantes (on pourra effectuer des changements de variables).
D1=Z2
1
ln x
xdx ;D2=Z1
0
excos(ex)dx ;D3=Z3
e
1
x(ln x)3dx ;
D4=Ze2
e
1
x(ln x+ 1) dx ;D5=Z1
0
√1−x2dx ;D6=Z2
1/2
ln x
1 + x2dx.
(poser t= ln xdans D1,D3et D4; poser x= sin udans D5; poser y= 1/x dans D6).
Exercice 3
Calculer les int´egrales suivantes.
I1=Zπ/2
0
sin2xcos x dx ;I2=Zπ/2
0
sin4xcos3x dx ;I3=Zπ/2
0
sin3xcos2x dx.
Indication : pour le calcul de I1, on pourra poser t= sin x. Deviner la suite. Que peut-on
dire en g´en´eral ?
Exercice 4
Calculer par lin´earisation (formules d’Euler) la valeur des int´egrales
J1=Zπ/2
0
sin4x dx et J2=Zπ/2
0
cos2xsin4x dx.
Exercice 5
Calculer les int´egales suivantes :
K1=Z1
0
arctan x
1 + x2dx ;K2=Z2
1/21 + 1
x2arctan x dx ;K3=Zπ/2
0
xsin x dx ;
K4=Z1
−1
(arccos x)2dx ;K5=Z1
0
1
(1 + x2)2dx ;K6=Z√3
0
x2
√4−x2dx.
1

Exercice 6
Soit f: [0,1] →Rla fonction d´efinie par
f(0) = 0, f(x) = 1
2nsi 1 2n< x ≤1 2n−1.
1. D´eterminer une suite de fonctions en escalier sur [0,1] qui converge uniform´ement
vers la fonction f.
2. Pourquoi fest-elle int´egrable ? Calculer la valeur de R1
0f(x)dx.
Exercice 7
1. Soit f: [0,1] →Rune fonction continue. Montrer que
lim
n→+∞
n
X
k=1
1
nf(k n) = Z1
0
f(x)dx
2. D´eterminer les limites suivantes :
lim
n→+∞
n
X
k=1
k
n2; lim
n→+∞
n
X
k=1
k3
n4; lim
n→+∞
n
X
k=1
1
nsin(kπ n) ;
lim
n→+∞
n
X
k=1
1
n+k;
n
X
k=1
n
n2+k2; lim
n→+∞
n
X
k=1
1
nek+2n
n.
Exercice 8
1. Soit fla fonction d´efinie sur [0,1] par
f(x) = x2si 0 ≤x≤1
2
sin(πx)
4si 1 2< x ≤1
(a) Montrer que fest continue sur [0,1].
(b) Donner l’expression, pour x∈[0,1
2] et pour x∈[1 2,1], de
F(x) = Zx
0
f(t)dt.
(c) Montrer que la fonction Fest continue sur [0,1].
(d) La fonction Fest-elle d´erivable sur [0,1] ? Donner, si elle existe, l’expression
de la d´eriv´ee de F.
2. On note x7→ E(x) la fonction partie enti`ere.
(a) Soit n≥0 un entier naturel. Quelle est la valeur de Rn
0E(t)dt ?
(b) Soit x≥0 un r´eel. Quelle est la valeur de Rx
0E(t)dt ?
(c) Repr´esenter graphiquement la fonction G:R+→Rd´efinie par
G(x) = Zx
0
E(t)dt.
La fonction Gest-elle continue ? Est-elle d´erivable ?
2

Exercice 9
Soient f1:R→Ret f2: ]0,+∞[→Rles fonctions d´efinies par
f1(x) = Zx2
x
e−t2dt et f2(x) = Z√x
1/x
cos t2dt.
Montrer que f1et f2sont d´erivables, et calculer leurs d´eriv´ees.
Exercice 10
1. Soient aun r´eel strictement positif, et fune fonction continue sur [−a, a].
(a) Montrer que si la fonction fest impaire, alors Ra
−af(x)dx = 0.
(b) Montrer que si la fonction fest paire, alors Ra
−af(x)dx = 2 Ra 0f(x)dx.
2. Soient a > 0 et fune fonction continue sur [0, a]. Montrer que
Za
0
f(x)dx =Za
0
f(a−x)dx.
En d´eduire la formule
Zπ
2
0
f(sin x)dx =Zπ
2
0
f(cos x)dx.
3. Soit fune fonction continue sur R, p´eriodique de p´eriode T. Montrer que l’on a,
pour tout a∈R, l’´egalit´e
Za+T
a
f(x)dx =ZT
0
f(x)dx.
Exercice 11
Soit f: [α, β]→[a, b] une bijection croissante de classe C1. Calculer
I=Zβ
α
f(x)dx +Zb
a
f−1(x)dx.
Exercice 12
On consid`ere la fonction fd´efinie sur ]0,1[∪]1,+∞[ par
f(x) = Zx2
x
1
ln tdt.
1. Montrer que fest d´erivable et calculer sa d´eriv´ee.
2. Montrer que f0a une limite quand x→0+et quand x→1.
3. D´eterminer
lim
x→0+f(x) et lim
x→+∞f(x).
3

4. Soit gd´efinie sur ]0,1[∪]1,+∞[ par
g(t) = 1
ln t−1 tln t.
D´eterminer
lim
t→1g(t) et lim x→1Zx2
x
g(t)dt
et en d´eduire limx→1f(x).
Exercice 13
On pose, pour tout n∈N,
In=Z1
0
xn
1 + xdx
1. En majorant la fonction int´egr´ee, montrer que la suite (In) converge vers 0.
2. Calculer In+In+1.
3. D´eterminer la valeur de
lim
n→+∞ n
X
k=1
(−1)k+1
k!
Exercice 14
1. Pour tout n∈N∗, calculer
un=Z1
0
t2n−2(t−1)2dt.
2. Montrer l’´egalit´e
N
X
n=1
un=Z1
0
1−t
1 + t(1 −t2N)dt
3. Calculer, si elle existe
lim
N→+∞
N
X
n=1
un
4