Feuille d`exercices no 5 — Intégration

Université Bordeaux 1
MHT 204
Année 2010-2011
Feuille d’exercices no 5 — Intégration
Exercice 1
Calculer les intégrales suivantes (on pourra intégrer par parties).
Z 1
Z 1
−x
(x − 1)e dx ; C2 =
arctan x dx ;
C1 =
0
0
Z 2
Z 1
2
(x + 1) cos x dx ; C4 =
(3x2 + x + 1) ln x dx.
C3 =
0
1
Exercice 2
Calculer les intégrales suivantes (on pourra effectuer des changements de variables).
Z 2
Z 1
Z 3
ln x
1
x
x
D1 =
dx ; D2 =
e cos(e ) dx ; D3 =
dx ;
3
x
1
0
e x(ln x)
Z e2
Z 1√
Z 2
1
ln x
D4 =
dx ; D5 =
dx.
1 − x2 dx ; D6 =
2
x(ln x + 1)
e
0
1/2 1 + x
(poser t = ln x dans D1 , D3 et D4 ; poser x = sin u dans D5 ; poser y = 1/x dans D6 ).
Exercice 3
Calculer les intégrales suivantes.
Z
Z π/2
2
sin x cos x dx ; I2 =
I1 =
π/2
4
3
sin x cos x dx ;
0
0
Z
π/2
I3 =
sin3 x cos2 x dx.
0
Indication : pour le calcul de I1 , on pourra poser t = sin x. Deviner la suite. Que peut-on
dire en général ?
Exercice 4
Calculer par linéarisation (formules d’Euler) la valeur des intégrales
Z π/2
Z π/2
4
J1 =
sin x dx et J2 =
cos2 x sin4 x dx.
0
0
Exercice 5
Calculer les intégales suivantes :
Z 1
Z 2 Z π/2
arctan x
1
K1 =
dx ; K2 =
1 + 2 arctan x dx ; K3 =
x sin x dx ;
1 + x2
x
0
1/2
0
Z 1
Z 1
Z √3
1
x2
2
√
K4 =
(arccos x) dx ; K5 =
dx ; K6 =
dx.
2 2
4 − x2
−1
0 (1 + x )
0
1
Exercice 6
Soit f : [0, 1] → R la fonction définie par
f (0) = 0, f (x) =
1
1
1
si n < x ≤ n−1 .
n
2
2
2
1. Déterminer une suite de fonctions en escalier sur [0, 1] qui converge uniformément
vers la fonction f .
R1
2. Pourquoi f est-elle intégrable ? Calculer la valeur de 0 f (x) dx.
Exercice 7
1. Soit f : [0, 1] → R une fonction continue. Montrer que
Z 1
n
X
1 k
f (x) dx
f( ) =
lim
n→+∞
n
n
0
k=1
2. Déterminer les limites suivantes :
n
X
k
lim
;
n→+∞
n2
k=1
lim
n→+∞
n
X
k=1
lim
n→+∞
1
;
n+k
n
X
k3
k=1
n
X
k=1
n4
;
n
X
1
kπ
lim
sin( ) ;
n→+∞
n
n
k=1
n
;
2
n + k2
n
X
1 k+2n
lim
e n .
n→+∞
n
k=1
Exercice 8
1. Soit f la fonction définie sur [0, 1] par
2
x
si 0 ≤ x ≤ 12
f (x) =
sin(πx)
si 21 < x ≤ 1
4
(a) Montrer que f est continue sur [0, 1].
(b) Donner l’expression, pour x ∈ [0, 12 ] et pour x ∈ [ 12 , 1], de
Z x
F (x) =
f (t) dt.
0
(c) Montrer que la fonction F est continue sur [0, 1].
(d) La fonction F est-elle dérivable sur [0, 1] ? Donner, si elle existe, l’expression
de la dérivée de F .
2. On note x 7→ E(x) la fonction partie entière.
Rn
(a) Soit n ≥ 0 un entier naturel. Quelle est la valeur de 0 E(t) dt ?
Rx
(b) Soit x ≥ 0 un réel. Quelle est la valeur de 0 E(t) dt ?
(c) Représenter graphiquement la fonction G : R+ → R définie par
Z x
G(x) =
E(t) dt.
0
La fonction G est-elle continue ? Est-elle dérivable ?
2
Exercice 9
Soient f1 : R → R et f2 : ]0, +∞[ → R les fonctions définies par
√
x2
Z
e
f1 (x) =
−t2
Z
x
dt et f2 (x) =
x
cos t2 dt.
1/x
Montrer que f1 et f2 sont dérivables, et calculer leurs dérivées.
Exercice 10
1. Soient a un réel strictement positif, et f une fonction continue sur [−a, a].
Ra
(a) Montrer que si la fonction f est impaire, alors −a f (x) dx = 0.
Ra
Ra
(b) Montrer que si la fonction f est paire, alors −a f (x) dx = 2 0 f (x) dx.
2. Soient a > 0 et f une fonction continue sur [0, a]. Montrer que
Z a
Z a
f (a − x) dx.
f (x) dx =
0
0
En déduire la formule
π
2
Z
π
2
Z
f (sin x) dx =
f (cos x) dx.
0
0
3. Soit f une fonction continue sur R, périodique de période T . Montrer que l’on a,
pour tout a ∈ R, l’égalité
Z a+T
Z T
f (x)dx =
f (x) dx.
a
0
Exercice 11
Soit f : [α, β] → [a, b] une bijection croissante de classe C 1 . Calculer
Z
β
I=
Z
f (x) dx +
α
b
f −1 (x) dx.
a
Exercice 12
On considère la fonction f définie sur ]0, 1[∪]1, +∞[ par
Z
x2
f (x) =
x
1
dt.
ln t
1. Montrer que f est dérivable et calculer sa dérivée.
2. Montrer que f 0 a une limite quand x → 0+ et quand x → 1.
3. Déterminer
lim f (x) et
x→0+
3
lim f (x).
x→+∞
4. Soit g définie sur ]0, 1[∪]1, +∞[ par
1
1
−
.
ln t t ln t
g(t) =
Déterminer
Z
lim g(t) et
x2
g(t) dt
lim
t→1
x→1
x
et en déduire limx→1 f (x).
Exercice 13
On pose, pour tout n ∈ N,
1
Z
In =
0
xn
dx
1+x
1. En majorant la fonction intégrée, montrer que la suite (In ) converge vers 0.
2. Calculer In + In+1 .
3. Déterminer la valeur de
n
X
(−1)k+1
lim
n→+∞
!
k
k=1
Exercice 14
1. Pour tout n ∈ N∗ , calculer
1
Z
t2n−2 (t − 1)2 dt.
un =
0
2. Montrer l’égalité
N
X
n=1
1
Z
un =
0
1−t
(1 − t2N ) dt
1+t
3. Calculer, si elle existe
lim
N →+∞
4
N
X
n=1
un