2 + i

ARITHM´ ETIQUE ET GROUPES Ann´ee 2010-2011
TD1: Les nombres complexes
Exercice 1. Montrer que (1 + 2i)(2 −3i)(2 + i)(3 −2i) est un nombre r´eel.
Exercice 2. Soit j=−1
2+i√3 2.
a) Calculer j,j2,j3,jn, avec n∈N∗, 1 + j+j2.
b) Dans le plan complexe repr´esenter j,j2et j3.
Exercice 3. Calculer 1 −i+i2+. . . + (−1)ninet (1 + i)n+ (1 −i)navec n∈N∗.
Exercice 4.
a) Ecrire sous la forme a+ib (a, b ∈R) les complexes 3+6i
3−4iet i+5 (i+3)2.
b) Ecrire sous forme trigonom´etrique les complexes 1+i
1−iet 1+i√3
√3+i.
Exercice 5.
a) Lin´eariser cos xsin25x(linariser = transformer en somme de cosinus et sinus).
b) Exprimerer cos 5xet sin 5xen fonction de cos xet sin x.
Exercice 6. R´esoudre dans Rl’´equation √3 cos x+ sin x=√2.
Exercice 7.
a) Trouver les racines carr´ees de −3+4iet 46 −14√3i.
b) R´esoudre dans Cles ´equations z8= 256 et z2−(3 + 4i)z−1+5i= 0.
Exercice 8. On pose pour (a, h)∈R2
U= cos a+ cos(a+h) + cos(a+ 2h) + . . . + cos(a+ (n−1)h)
V= sin a+ sin(a+h) + sin(a+ 2h) + . . . + sin(a+ (n−1)h).
a) Calculer Uet V`a l’aide du complexe U+iV .
b) Calculer cos π
11 + cos 3π 11 + cos 5π 11 + cos 7π 11 + cos 9π 11 .
c) Calculer pour n∈N∗, x 6=π
2+kπ, k ∈Z:
1 + cos x
cos x+cos 2x cos2x+··· +cos nx cosnx.
1

Exercice 9. R´esoudre dans Cl’´equation (z+i)n= (z−i)n, avec n∈N∗.
Exercice 10. Donner les racines sixi`emes de 8ien calculant les racines carr´ees des racines
cubiques. En d´eduire cos π
12 et sin π 12 .
Exercice 11.
Dans cet exercice, Zd´esigne le nombre complexe
cos 2π
5+ i sin 2π 5.
a) V´erifier que Z5−1 = 0. En d´eduire la relation :
1 + Z+Z2+Z3+Z4= 0.
b) (1) Exprimer Z,Z2,Z3,Z4sous forme trigonom´etrique.
(2) D´emontrer les ´egalit´es :
Z+Z4= 2 cos 2π
5et Z2+Z3= 2 cos 4π 5
c) Utiliser les r´esultats des questions 1 et 2 pour trouver une relation entre cos 2π
5et cos 4π 5,
puis montrer que cos 2π
5est racine de l’´equation 4x2+ 2x−1 = 0 ; en d´eduire la valeur de
cos 2π
5.
Exercice 12. Racines n-i`emes de l’unit´e Soit n≥2. On consid`ere les solutions z
complexes de l’´equation
(E)zn−1=0.
a) Montrer que toute solution zde (E) est de module 1. En d´eduire que zest de la forme eiθ
avec θ=k2π
npour k∈Z.
b) On pose ωk=eik2π
npour k∈Z. Montrer que ωkne prend au plus que nvaleurs lorsque k
parcourt Z.
c) Montrer que ωkne prend exactement que nvaleurs distinctes. En d´eduire le
Th´eor`eme 1 Les racines n-i`emes de l’unit´e sont au nombre de n, elles s’´ecrivent sous la forme
eik2π
no`u kest un entier naturel tel que 0≤k≤n−1.
Exercice 13. Racines n-i`emes d’un nombre complexe. Soit n≥1 et Zun nombre
complexe non nul. On appelle racine n-i`eme de Ztout nombre complexe ztel que zn=Z.
Montrer en utilisant l’exercice pr´ec´edent le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 2 Tout nombre complexe non nul Z=|Z|eiϕadmet nracines n-i`emes qui s’expriment
sous la forme trigonom´etrique :
n
p|Z|ei(ϕ
n+k2π n),
o`u kest un entier naturel tel que 0≤k≤n−1.
2

Exercice 14. D’autres exercices
a) Lin´eariser les expressions suivantes (On rappelle que lin´eariser signifie transformer ces ex-
pressions en somme de termes de la forme ancos nx +bnsin nx. ):
cos4xsin x,
sin2xcos3x,
cos4xsin3x,
3 cos3xsin3x−2 cos4xsin2x.
b) R´esoudre les ´equations
√2 cos x+√3 sin x−1=0,
2 cos x+ 5 sin x+ 2 = 0,
cos x+ sin x= 1,
√3 cos x+√13 sin x= 2.
3

ARITHM´ ETIQUE ET GROUPES Ann´ee 2010-2011
TD 1 bis : La formule de Cardan.
Il ´etait une fois dans le Nord . . . de l’Italie.
Au commencement, Cardan et les alg´ebristes italiens du xviesi`ele n’h´esitent pas `a employer
le symbole √−aavec ar´eel strictement positif.
En ´etudiant l’´equation du troisi`eme degr´e x3+px =q, Cardan trouve, lorsque pest positif,
la racine r´eelle de l’´equation sous la forme :
3
srp
33+q 22+q 2−3
srp
33+q 22−q 2
Il est facile de voir que ce nombre est r´eel et qu’il est bien solution de l’´equation x3+px =q. De
plus, l’´etude des variations de la fonction x7→ x3+px −qmontre que celle-ci ne s’annule qu’une
seule fois (lorsque p > 0).
Pour l’´equation x3−15x−4 = 0 dont 4 est l’unique racine r´eelle, comme le montre l’´etude
de la fonction x7→ x3−15x−4, la formule de Cardan donne :
3
q2 + √−121 −3 q−2 + √−121,
ce qui fait apparaˆıtre des nombres ”impossibles” ou ”imaginaires”.
C’est Bombelli qui montre l’´egalit´e 4 = 3
p2 + √−121 −3 p−2 + √−121, en proc´edant ainsi :
(2 −√−1)3= 2 + √−121 et (−2−√−1)3=−2 + √−121,
par utilisation de rˆoles de calcul connues dans R; ce qui conduit `a
3
q2 + √−121 −3 q−2 + √−121 = 2 −√−1 + 2 + √−1=4.
`
A l’aide des nombres imaginaires et de la formule de Cardan, il ”trouve” la racine r´eelle de
x3−15x−4 = 0.
•Premi`ere mani`ere
Soit l’´equation ax3+bx2+cx+d= 0 o a,b,c,dsont des nombres complexes tels que a6= 0.
On pose z=x+b
3a. Montrer qu’on se ram`ene ainsi `a la r´esolution d’une ´equation du type
(E)z3+pz +q= 0, p, q ∈C.
Montrer que (E) admet au moins une racine r´eelle lorsque pet qsont r´eels.
Soit zv´erifiant (E), on pose z=u+vavec 3uv +p= 0. Montrer que u3et v3sont les
racines y1et y2d’une ´equation du second degr´e que l’on formera. Comment faut-il associer
les racines cubiques de y1et y2pour que leur somme soit racine de (E) ? Retrouver les
formules de Cardan lorsque pet qsont r´eels.
•Vers la th´eorie des groupes . . .
Soient α,βet γles racines de (E). Montrer que le complexe z= (α+ jβ+ j2γ)3, o`u
j = −1
2+ i√3 2, ne prend que deux valeurs z1et z2lorsque l’on permute α,βet γde toutes
les mani`eres possibles.
Former l’´equation du second degr´e admettant z1et z2pour racines. En d´eduire une m´ethode
de r´esolution de (E). Effectuer les calculs lorsque pet qsont r´eels.
4

ARITHM´ ETIQUE ET GROUPES Ann´ee 2010-2011
TD 2 : Axiomes de N, raisonnement par r´ecurrence.
Exercice 1. On veut montrer qu’´etant donn´ee une boite de crayons de couleurs, ils sont tous de
la mˆeme couleur. Que pensez-vous du raisonnement suivant :
On proc`ede par r´ecurrence sur nle nombre de crayons. Le r´esultat est vrai pour n= 1. On
suppose que le r´esultat est vrai pour ncrayons. Soit une boite de n+1 crayons not´es c1, . . . , cn+1.
D’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence, les ncrayons c1, . . . , cnsont tous de la mˆeme couleur et les
ncrayons c2, . . . , cn+1 sont tous de la mˆeme couleur. Donc, les crayons c1, . . . , cn+1 sont de la
mˆeme couleur. Ce qui d´emontre le r´esultat pour tout n.
Exercice 2. D´emontrer, en utilisant une r´ecurrence que
a) 1 + 2 + . . . +n=n(n+ 1)
2,
b) 12+ 22+. . . +n2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6,
c) 13+ 23+. . . +n3=n(n+ 1)
22
.
Exercice 3. Montrer en utilisant une r´ecurrence que pour tout a, n ∈Non a
n
X
k=1
k(k+ 1) . . . (k+a) = n(n+ 1) . . . (n+a+ 1)
a+ 2
Exercice 4.∗En utilisant les exercices 2 et 3, montrer que, pour tout entier nsup´erieur `a 1, il
existe Pn, polynˆome de degr´e n+ 1, tel que
∀k≥1, Pn(k)=1n+ 2n+. . . +kn.
On pourra s’inspirer des deux exercices pr´ec´edents: l’exercice 1 pour initialiser la r´ecurrence avec
n=1 ou n=2, puis l’exercice 2 pour passer de l’´etape n`a l’´etape n+ 1.
Exercice 5. La formule du binˆome. Pour tout k, n ∈N, on note
Ck
n=n!
k! (n−k)!.
Montrer en utilisant une r´ecurrence que, pour tout a, b ∈Ron a
(a+b)n=
n
X
k=0
Ck
nakbn−k.
Exercice 6. Montrer par r´ecurrence que, pour tout n∈N,
a) 22×3n−1 est divisible par 3n+1.
5