Université Paul Sabatier 2012–2013 L1 SFA Mathématiques 1

Universit´e Paul Sabatier 2012–2013
L1 SFA Math´ematiques 1, Analyse 1
Devoir 1
Exercice 1. D´eterminer les racines du polynˆome
X4+X3+X2+X+ 1 .
En d´eduire que
2 cos 4π
5+ 2 cos 2π 5+ 1 = 0 .
Utiliser cette ´egalit´e pour montrer que cos 2π
5est une racine du po-
lynˆome 4X2+ 2X−1. D´emontrer que
cos 2π
5=−1 + √5 4.
Exercice 2. Quels sont les couples de nombres complexes (a, b) tels
que le polynˆome X2+ 2 divise X4+X3+aX2+bX + 2 ?
Exercice 3. On pose j=e2πi
3.
1) Calculer explicitement, pour tout entier n>0, le nombre complexe
1 + jn+j2n.
2) Soit Pun polynˆome `a coefficients complexes. On ´ecrit
P(X) = a0+a1X+· · · +anXn,
o`u n>1 est un entier et akest un nombre complexe pour tout k,
06k6n. On peut toujours imposer que nsoit non nul et divisible
par 3 (quitte `a ajouter des termes de la forme 0·Xs). ´ Ecrivons n= 3m
avec m>1 un nombre entier. Poser
1
3P(X) + P(jX) + P(j2X)=
n
X
k=0
ckXk
,,
et calculer explicitement les coefficients ck, 0 6k6n, en fonction
des coefficients de P. En d´eduire qu’il existe un unique polynˆome Q
tel que
Q(X3) = 1
3P(X) + P(jX) + P(j2X).
3) Soit Aun polynˆome `a coefficients complexes. On suppose que
A(X) = A(jX) = A(j2X).
Montrer qu’il existe un unique polynˆome Btel que
B(X3) = A(X).
1

2
4) Soit Run polynˆome `a coefficient complexes. On pose
S(X) = R(X)R(jX)R(j2X).
Montrer qu’il existe un unique polynˆome Ttel que
T(X3) = S(X).
Exercice 4. Pour chaque entier n>0, on pose
Pn=
n
X
k=0
Xk
k!= 1 + X+· · · +Xn−1 (n−1)! +Xn n!.
1) Calculer le polynˆome d´eriv´e P0
nen fonction de Pn−1pour tout entier
n > 0.
2) En d´eduire que, pour tout entier n>0, le polynˆome Pnne peut
avoir que des racines de multiplicit´e au plus 1 (r´eelles ou complexes).
3) Montrer par r´ecurrence que Pnadmet exactement une racine r´eelle
lorsque nest impair, et aucune racine r´eelle lorsque nest pair (pour
y parvenir, on pourra chercher `a donner le tableau de variation de la
fonction associ´ee au polynˆome Pn, suivant la parit´e de n).