Université Paul Sabatier 2012–2013 L1 SFA Mathématiques 1

Université Paul Sabatier
L1 SFA
2012–2013
Mathématiques 1, Analyse 1
Devoir 1
Exercice 1. Déterminer les racines du polynôme
X4 + X3 + X2 + X + 1 .
En déduire que
2 cos
4π 2π + 1 = 0.
est une racine du poUtiliser cette égalité pour montrer que cos 2π
5
lynôme 4X 2 + 2X − 1. Démontrer que
2π −1 + √5
cos
=
.
5
4
5
+ 2 cos
5
Exercice 2. Quels sont les couples de nombres complexes (a, b) tels
que le polynôme X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + aX 2 + bX + 2 ?
2πi
Exercice 3. On pose j = e 3 .
1) Calculer explicitement, pour tout entier n > 0, le nombre complexe
1 + j n + j 2n .
2) Soit P un polynôme à coefficients complexes. On écrit
P (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ,
où n > 1 est un entier et ak est un nombre complexe pour tout k,
0 6 k 6 n. On peut toujours imposer que n soit non nul et divisible
par 3 (quitte à ajouter des termes de la forme 0·X s ). Écrivons n = 3m
avec m > 1 un nombre entier. Poser
n
X
1
2
P (X) + P (jX) + P (j X) =
ck X,k ,
3
k=0
et calculer explicitement les coefficients ck , 0 6 k 6 n, en fonction
des coefficients de P . En déduire qu’il existe un unique polynôme Q
tel que
1
Q(X 3 ) = P (X) + P (jX) + P (j 2 X) .
3
3) Soit A un polynôme à coefficients complexes. On suppose que
A(X) = A(jX) = A(j 2 X) .
Montrer qu’il existe un unique polynôme B tel que
B(X 3 ) = A(X) .
1
2
4) Soit R un polynôme à coefficient complexes. On pose
S(X) = R(X)R(jX)R(j 2 X) .
Montrer qu’il existe un unique polynôme T tel que
T (X 3 ) = S(X) .
Exercice 4. Pour chaque entier n > 0, on pose
n
X
Xk
X n−1
Xn
Pn =
= 1 + X + ··· +
+
.
k!
(n
−
1)!
n!
k=0
1) Calculer le polynôme dérivé Pn0 en fonction de Pn−1 pour tout entier
n > 0.
2) En déduire que, pour tout entier n > 0, le polynôme Pn ne peut
avoir que des racines de multiplicité au plus 1 (réelles ou complexes).
3) Montrer par récurrence que Pn admet exactement une racine réelle
lorsque n est impair, et aucune racine réelle lorsque n est pair (pour
y parvenir, on pourra chercher à donner le tableau de variation de la
fonction associée au polynôme Pn , suivant la parité de n).