dérivation - Philippe DEPRESLE

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION
Ph DEPRESLE
30 septembre 2015
Table des matières
1 Dérivée en un point 2
2 Continuité et dérivabilité 2
3 Fonction dérivée 2
4 Sens de variation d’une fonction dérivable 3
5 Dérivées et opérations 3
5.1 Dérivées et opérations ....................................... 3
5.2 Dérivée d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.2.1 Dérivée de pu........................................ 3
5.2.2 Dérivée de un,n∈Z.................................... 4
5.3 Dérivée de x7→v(ax +b)...................................... 4
5.4 Dérivée de x7→ f[g(x)] ....................................... 4
6 Les fonctions sinus et cosinus 5
6.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.2 Étude des fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7 QCM 7
8 EXERCICES : Les exercices de base 8
9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) 10
1

Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S
1 Dérivée en un point
Définition 1. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de Ret a ∈I .
On dit que la fonction f est dérivable en a lorsque f(x)−f(a)
x−aadmet une limite finie quand x tend vers
a.
Cette limite est notée f ′(a), c’est le nombre dérivé de f en a.
On note :
f′(a)=lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a=lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h
Définition 2. Soit I un intervalle et f une fonction dérivable en a ∈I .
La tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse a est la droite passant par A de coef-
ficient directeur f ′(a).
Elle admet pour équation
y=f′(a)(x−a)+f(a)
2 Continuité et dérivabilité
Propriétés 1. admis
Si f est dérivable en un réel a, alors f est continue en a.
Attention la réciproque est fausse.
Exemple : x7→ |x|est continue sur Rmais x 7→ |x|n’est pas
dérivable en 0.
1
2
3
−1
1 2−1−2
3 Fonction dérivée
Définition 3. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R.
On dit que f est dérivable sur I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I .
Dérivées usuelles
Fonction fdéfinie par : Fonction f′définie par : Intervalles de validité
f(x)=k f ′(x)=0 ]−∞;+∞[
f(x)=xn,n∈N∗f′(x)=nxn−1]−∞;+∞[
f(x)=1
xf′(x)=− 1 x2]−∞;0[ et ]0;+∞[
f(x)=1
xn=x−n,n∈N∗f′(x)=−nxn−1= − n xn+1]−∞;0[ et ]0;+∞[
f(x)=px f ′(x)=1
2px]0;+∞[
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Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S
Remarque :
Pour p∈Z∗, si f(x)=xp, alors f′(x)=pxp−1
Exemple : Soit f:x7→ x2+1. Cette fonction est définie sur R
et sa dérivée est f′(x)=2x.
Une équation de la tangente à Cfau point d’abscisse 3 est
y=f′(3)(x−3)+f(3)
On a f(3) =10 et f′(3) =6 soit y=6(x−3)+10 soit y=6x−8.
2
4
6
8
−2
2 4−2−4
y=6x−8
y=x2+1
4 Sens de variation d’une fonction dérivable
Théorème 1. (admis)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
•Si f ′est nulle sur I , alors f est constante sur I .
•Si f ′est strictement positive sur I sauf en un nombre fini de points où elle peut s’annuler, alors f est
strictement croissante sur I .
•Si f ′est strictement négative sur I sauf en un nombre fini de points où elle peut s’annuler, alors f est
strictement décroissante sur I .
5 Dérivées et opérations
5.1 Dérivées et opérations
Soient uet vdeux fonctions dérivables sur un intervalle Iet kun réel.
fonction ffonction dérivée f′dérivabilité
somme f=u+v f ′=u′+v′dérivable sur l’intervalle I.
produit f=k.u
f=u.v
f′=k.u′
f′=u′.v+u.v′dérivable sur l’intervalle I.
quotient f=1
v
f=u
v
f′=− v′
v2
f′=u′v−uv′
v2
dérivable en tout réel xde l’intervalle Ioù v(x) est non nul.
5.2 Dérivée d’une fonction composée
5.2.1 Dérivée de pu
Théorème 2. Soit u une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I
alors pu:x7→pu(x)est dérivable sur I et sa dérivée est ¡pu¢′=u′
2pu.
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Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S
Exemple : Soit f:x7→px2+1 comme u:x7→ x2+1 est strictement positif et dérivable sur R,
alors fest dérivable sur Ret on a :
f′(x)=2x
2px2+1=x
px2+1( car u′(x)=2x).
5.2.2 Dérivée de un,n∈Z
Théorème 3. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I alors
•si n ∈N,un:x7→[u(x)]nest dérivable sur I .
•si n ∈Z−et si u ne s’annule pas sur I alors unest dérivable sur I .
et dans tous les cas (un)′=nu′un−1.
Exemples :
⋄Soit f:x7→(x2+x+1)17.fest dérivable sur Ret f′(x)=17(2x+1)(x2+x+1)16.
⋄Soit g:x7→ 3
(4x+1)2.gest dérivable sur ] −∞;1 4[∪]1 4;+∞[.
g(x)=3(4x+1)−2et g′(x)=3×(−2)×4×(4x+1)−3=−24
(4x+1)3
5.3 Dérivée de x7→ v(ax +b)
Théorème 4. Soit x0∈R, tel que v dérivable en ax0+b, alors la fonction h :x7→ v(ax +b)est dérivable
x0et sa dérivée en x0est h′(x0)=a×v′(ax0+b).
Exemple : Soit f:x7→sinÃ2x+π
4!sur R.
Sa dérivée est f′(x)=2cosÃ2x+π
4!
5.4 Dérivée de x7→ f[g(x)]
Soit
Ig −→ Jf −→ R
x7→ g(x)7→ f(g(x)) ¾on compose les fonctions
fet g
Théorème 5. Si g est dérivable en x0et f est dérivable en g (x0)alors la fonction h :x7→ f[g(x)] est
dérivable en x0et on a h′(x0)=g′(x0)×f′[g(x0)].
Remarque : On retrouve comme cas particuliers les dérivées de pu1
uunet : x7→ v(ax +b)
Résumé :
Ainsi, pour n∈Z∗,
fonction dérivée
f=unf′=nu′un−1
f=1
uf′=− u′ u2
fonction dérivée
f=pu f ′=u′
2pu
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Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S
6 Les fonctions sinus et cosinus
6.1 Propriétés
Rappel : On se place dans un repère orthonormé direct
³O ;−→
i,−→ j´du plan. Soit Cle cercle trigonométrique de
centre O.
Si xest un réel, et si Mest le point de Cassocié à x, (xest
alors une mesure en radian de l’angle orienté (−→ i,−−−→ OM ))
alors cosxet sinxsont les coordonnées de Mdans le repère
³O ;−→
i,−→ j´.
M(cosx;sinx) et −−→ OM µx
y¶
sinx
cosx
x
OA
M
Propriétés 2. •Les fonctions cos : x7→cosx et sin : x7→sinx sont définies sur Ret sont périodiques de
période 2π:
∀x∈R, cos(x+2π)=cos x et sin(x+2π)=sinx.
•La fonction cos : x7→ cos x est paire sur Ret la fonction sin : x7→sin x est impaire sur R:
∀x∈R, cos(−x)=cosx et sin(−x)= −sin x.
•Les fonctions cos et sin sont continues et dérivables sur Ret on a :
∀x∈R, cos′x=−sin x et sin′x=cosx
fonction dérivée
f=cosu f ′=−u′sinu
f=sinu f ′=u′cosu
•On a lim
x→0
sin x
x=1et lim
x→0
cosx−1
x=0
6.2 Étude des fonctions sinus et cosinus
⋄La fonction cosinus
D’abord sur [0;π] en utilisant le cercle trigonométrique :
x0π
2π
cos′x=−sinx0− −1−0
cosx
1❍❍❍❥ 0❍❍❍❥−1
et on complète par parité sur [−π;0]. (symétrie d’axe O y)
1
−1
1 2 3−1−2−3
Puis par périodicité, la courbe est invariante par la translation de vecteur 2π−→ i.
La representation graphique de la fonction cos est donc :
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