dérivation - Philippe DEPRESLE

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION
Ph DEPRESLE
30 septembre 2015
Table des matières
1 Dérivée en un point
2
2 Continuité et dérivabilité
2
3 Fonction dérivée
2
4 Sens de variation d’une fonction dérivable
3
5 Dérivées et opérations
5.1 Dérivées et opérations . . . . . . .
5.2 Dérivée d’une fonction composée
p
5.2.1 Dérivée de u . . . . . . . .
5.2.2 Dérivée de u n , n ∈ Z . . . .
5.3 Dérivée de x 7→ v(ax + b) . . . . . .
5.4 Dérivée de x 7→ f [g (x)] . . . . . . .
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3
3
3
3
4
4
4
6 Les fonctions sinus et cosinus
6.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Étude des fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
7 QCM
7
8 EXERCICES : Les exercices de base
8
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9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés)
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10
1
Chapitre : Fonctions numériques : dérivation
Terminale S
1 Dérivée en un point
Définition 1. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R et a ∈ I .
f (x) − f (a)
On dit que la fonction f est dérivable en a lorsque
admet une limite finie quand x tend vers
x −a
a.
Cette limite est notée f ′ (a), c’est le nombre dérivé de f en a.
On note :
f ′ (a) = lim
x→a
f (x) − f (a)
x −a
= lim
f (a + h) − f (a)
h→0
h
Définition 2. Soit I un intervalle et f une fonction dérivable en a ∈ I .
La tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse a est la droite passant par A de coefficient directeur f ′ (a).
Elle admet pour équation
y = f ′ (a)(x − a) + f (a)
2 Continuité et dérivabilité
3
Propriétés 1. admis
Si f est dérivable en un réel a, alors f est continue en a.
2
Attention la réciproque est fausse.
1
Exemple : x 7→ |x| est continue sur R mais x 7→ |x| n’est pas
dérivable en 0.
−2
1
−1
2
−1
3 Fonction dérivée
Définition 3. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R .
On dit que f est dérivable sur I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I .
Dérivées usuelles
Fonction f définie par :
f (x) = k
f (x) = x n , n ∈ N∗
1
f (x) =
x
1
f (x) = n = x −n , n ∈ N∗
x
p
f (x) = x
Fonction f ′ définie par :
f ′ (x) = 0
′
f (x) = nx n−1
1
f ′ (x) = − 2
x
n
f ′ (x) = −nx n−1 = − n+1
x
1
f ′ (x) = p
2 x
Ph Depresle : Notes de cours
Intervalles de validité
] − ∞; +∞[
] − ∞; +∞[
] − ∞; 0[ et ]0; +∞[
] − ∞; 0[ et ]0; +∞[
]0; +∞[
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Chapitre : Fonctions numériques : dérivation
Terminale S
Remarque :
Pour p ∈ Z∗ , si f (x) = x p , alors f ′ (x) = p x p−1
8
Exemple : Soit f : x 7→ x 2 + 1. Cette fonction est définie sur R
et sa dérivée est f ′ (x) = 2x.
Une équation de la tangente à C f au point d’abscisse 3 est
y = f ′ (3)(x − 3) + f (3)
On a f (3) = 10 et f ′ (3) = 6 soit y = 6(x −3)+10 soit y = 6x −8.
6
y = x42 + 1
2
−4
y = 6x − 8
2
−2
4
−2
4 Sens de variation d’une fonction dérivable
Théorème 1. (admis)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
• Si f ′ est nulle sur I , alors f est constante sur I .
• Si f ′ est strictement positive sur I sauf en un nombre fini de points où elle peut s’annuler, alors f est
strictement croissante sur I .
• Si f ′ est strictement négative sur I sauf en un nombre fini de points où elle peut s’annuler, alors f est
strictement décroissante sur I .
5 Dérivées et opérations
5.1 Dérivées et opérations
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel.
fonction dérivée f ′
f ′ = u′ + v ′
f ′ = k.u ′
′
f = u ′ .v + u.v ′
v′
f ′=− 2
v
′
u
v
−
uv ′
′
f =
v2
fonction f
somme f = u + v
f = k.u
produit
f = u.v
1
f =
v
quotient
u
f =
v
dérivabilité
dérivable sur l’intervalle I .
dérivable sur l’intervalle I .
dérivable en tout réel x de l’intervalle I où v(x) est non nul.
5.2 Dérivée d’une fonction composée
5.2.1 Dérivée de
p
u
Théorème 2. Soit u une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I
¡p ¢′
p
p
u′
alors u : x 7→ u(x) est dérivable sur I et sa dérivée est u = p .
2 u
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Chapitre : Fonctions numériques : dérivation
Terminale S
p
Exemple : Soit f : x 7→ x 2 + 1 comme u : x 7→ x 2 + 1 est strictement positif et dérivable sur R ,
alors f est dérivable sur R et on a :
2x
x
f ′ (x) = p
=p
( car u ′ (x) = 2x).
2
2
2 x +1
x +1
5.2.2 Dérivée de u n , n ∈ Z
Théorème 3. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I alors
• si n ∈ N,
u n : x 7→ [u(x)]n est dérivable sur I .
• si n ∈ Z− et si u ne s’annule pas sur I alors u n est dérivable sur I .
et dans tous les cas (u n )′ = nu ′u n−1 .
Exemples :
⋄ Soit f : x 7→ (x 2 + x + 1)17 . f est dérivable sur R et f ′ (x) = 17(2x + 1)(x 2 + x + 1)16 .
⋄ Soit g : x 7→
1
1
.
g
est
dérivable
sur
]
−
∞;
[∪]
; +∞[.
(4x + 1)2
4
4
3
g (x) = 3(4x + 1)−2 et g ′ (x) = 3 × (−2) × 4 × (4x + 1)−3 =
− 24
(4x + 1)3
5.3 Dérivée de x 7→ v (ax + b)
Théorème 4. Soit x 0 ∈R , tel que v dérivable en ax 0 +b, alors la fonction h : x 7→ v(ax +b) est dérivable
x 0 et sa dérivée en x 0 est h ′ (x 0 ) = a × v ′ (ax 0 + b).
!
Ã
π
sur R .
Exemple : Soit f : x 7→ sin 2x +
4
!
Ã
π
Sa dérivée est f ′ (x) = 2 cos 2x +
4
5.4 Dérivée de x 7→ f [g (x)]
Soit
g
I −
→
x 7→
J
g (x)
f
−
→
7→
R
f (g (x))
¾
on compose les fonctions
f et g
Théorème 5. Si g est dérivable en x 0 et f est dérivable en g (x 0 ) alors la fonction h : x 7→ f [g (x)] est
dérivable en x 0 et on a h ′ (x 0 ) = g ′ (x 0 ) × f ′ [g (x 0 )].
Remarque : On retrouve comme cas particuliers les dérivées de
Résumé :
Ainsi, pour n ∈ Z∗ ,
fonction
dérivée
f = un
f ′ = nu ′u n−1
1
u′
f =
f ′ =− 2
u
u
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fonction
f =
p
u
p
u
1
u
u n et : x 7→ v(ax + b)
dérivée
u′
f′= p
2 u
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Chapitre : Fonctions numériques : dérivation
Terminale S
b
6 Les fonctions sinus et cosinus
6.1 Propriétés
Rappel
: On se place dans un repère orthonormé direct
³ →
− →
−´
O ; i , j du plan. Soit C le cercle trigonométrique de
centre O.
Si x est un réel, et si M est le point de C associé à x, (x est
→
− −−−→
alors une mesure en radian de l’angle orienté ( i , OM ))
cos x
et sin x sont les coordonnées de M dans le repère
³alors→
− →
−´
O;i , j .
µ
¶
−−→ x
M (cos x; sin x) et OM
y
sin x
b
b
b
M
cos x
O
x
b
b
A
Propriétés 2. • Les fonctions cos : x 7→ cos x et sin : x 7→ sin x sont définies sur R et sont périodiques de
période 2π :
∀x ∈ R, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x.
b
• La fonction cos : x 7→ cos x est paire sur R et la fonction sin : x 7→ sin x est impaire sur R :
∀x ∈ R, cos(−x) = cos x et sin(−x) = − sin x.
• Les fonctions cos et sin sont continues et dérivables sur R et on a :
′
∀x ∈ R, cos x = − sin x et
• On a lim
x→0
sin x
x
= 1 et lim
sin x = cos x
cos x − 1
x→0
fonction
f = cos u
f = sin u
′
x
dérivée
f = −u ′ sin u
f ′ = u ′ cos u
′
=0
6.2 Étude des fonctions sinus et cosinus
⋄ La fonction cosinus
D’abord sur [0; π] en utilisant le cercle trigonométrique :
π
x
0
π
2
cos′ x = − sin x 0 − −1 −
0
1❍
❍❍
❥0
cos x
❍❍
❍
❥−1
1
−3
−2
1
−1
et on complète par parité sur [−π; 0]. (symétrie d’axe O y)
−1
→
−
Puis par périodicité, la courbe est invariante par la translation de vecteur 2π i .
La representation graphique de la fonction cos est donc :
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2
3
Chapitre : Fonctions numériques : dérivation
Terminale S
→
−
2π i
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
−1
⋄ La fonction sinus
π
0
x
sin′ x = cos x 1
sin x
0
π
2
0
1
+
−1
✒ ❅
❅
❅
❘
1
−3
0
−2
−1
−1
et on complète par imparité sur [−π; 0]. (symétrie de centre
O)
→
−
Puis par périodicité, la courbe est invariante par la translation de vecteur 2π i .
La representation graphique de la fonction sin est donc :
→
−
2π i
1
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
2
3
4
5
6
7
8
−1
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3
Chapitre : Fonctions numériques : dérivation
Terminale S
7 QCM
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant :
1. La dérivée de la fonction f est la fonction g .
(a) f (x) =
x −1
x +1
et
g (x) =
2x
(x + 1)2
.
1
g (x) = .
x
1
n
(c) f (x) = n et g (x) = − n+1 , où n est un entier naturel strictement positif.
x
x
(d) f = u n et g = nu n−1 , où n est un entier naturel strictement positif et u une fonction
dérivable sur R.
(b) f (x) = −
1
x2
et
2. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus en 0 est :
(a) y = 0.
(b) y = x
(c) y = cos x.
3. La fonction f est paire si et seulement si f ′ est impaire.
Solution :
1.
(a) FAUX. Pour tout réel x 6= 1, f ′ (x) =
′
(x + 1) − (x − 1)
(x + 1)2
Ã
(b) FAUX. Pour tout réel x non nul, f (x) = − −
2x
x4
!
=
=
2
2
(x + 1)2
x3
.
.
En fait c’est la fonction f qui est la dérivée de g !
(c) VRAI Pour tout réel x non nul, f (x) = x −n ,
n
donc f ′ (x) = −nx −n−1 = − n+1 .
x
(d) FAUX. f ′ = nu ′u n−1 .
2. L’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus en 0 est y = cos 0(x −
0) + sin 0+ = x.
La bonne réponse est b.
En particulier c est fausse : la fonction cosinus est la dérivée de la fonction sinus.
3. Si f est une fonction paire, pour tout réel x, f (−x) = f (x).
Donc − f ′ (−x) = f ′ (x) (dérivée d’une fonction composée).
La fonction f ′ est est impaire.
On a montré que si f est une fonction paire, alors sa dérivée f ′ est impaire.
Mais la réciproque est fausse :
Posons pour tout réel x, f (x) = x 3 + 1.
La fonction f n’est pas impaire.
Mais pour tout réel x, f ′ (x) = 3x 2 , f ′ est une fonction paire.
Donc c’est FAUX.
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Chapitre : Fonctions numériques : dérivation
Terminale S
8 EXERCICES : Les exercices de base
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 2 et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal. A est un point d’abscisse a non nulle de C et ∆ est la tangente en A à C . On note B le point
d’intersection de ∆ et de l’axe des abscisses.
1. Trouver, en fonction de a, une équation de ∆.
2. Trouver l’abscisse de B .
Exercice 2
3x 2 + ax + b
.
x2 + 1
Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de f admette comme tangente au point
d’abscisse 0 la droite (T ) d’équation y = 4x + 3.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
Exercice 3
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O; #»
ı , #»
 ).
On considère une fonction f dérivable sur l’intervalle [−3 ; 2].
On dispose des informations suivantes :
• f (0) = −1.
• la dérivée f ′ de la fonction f admet la courbe représentative C ′ ci -dessous.
→
−
j
O
→
−
i
C′
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. La représentation graphique de la fonction f admet une tangente horizontale sur [−3; 0].
2. La fonction f est croissante sur l’intervalle [−1 ; 2].
3. Pour tout réel x de l’intervalle [−3 ; 2], f (x) Ê −1.
4. Soit C la courbe représentative de la fonction f .
La tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1 ; 0).
Exercice 4
sin x
(fonction tangente).
cos x
1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction tangente ?
On pose tan(x) =
2. Montrer que la fonction tangente admet π comme période et est impaire.
3. Étudier ses variations et ses branches infinies, tracer sa courbe représentative C dans un repère
orthonormé du plan.
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Chapitre : Fonctions numériques : dérivation
Exercice 5
Terminale S
2x + sin x
.
x −1
2x − 1
2x + 1
1. Démontrer que pour tout x > 1 :
É f (x) É
.
x −1
x −1
2. En déduire la limite de f en +∞.
f est la fonction définie sur ]1, +∞[ par : f (x) =
Exercice 6
Étudier les variations de la fonction f définie sur R par f (x) = x + cos x.
En déduire que l’équation f (x) = 2 a une unique solution, en donner un encadrement d’amplitude
10−2 près.
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Chapitre : Fonctions numériques : dérivation
Terminale S
9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés)
Exercice 1 :
1. Une équation de ∆ est : y = f ′ (a)(x − a) + f (a) = 2a(x − a) + a 2 .
2. B appartient à ∆ et a une ordonnée nulle.
Son abscisse vérifie 2a(x B − a) + a 2 = 0, donc x B = a −
a
= .
2 2
a
Exercice 2 :
(6x + a)(x 2 + 1) − 2x(3x 2 + ax + b) −ax 2 + (6 − 2b)x + a
=
(x 2 + 1)2
(x 2 + 1)2
′
f (0) = b et f (0) = a, l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0
est y = f ′ (0)(x − 0) + f (0) = ax + b.
Pour que cette tangente soit la droite (T ) il faut et il suffit que a = 4 et b = 3.
f est dérivable sur R et f ′ (x) =
Exercice 3 :
1. VRAI. La fonction f ′ s’annule en -1. Donc C admet une tangente horizontale au point d’abscisse -1.
2. VRAI. f ′ est positive sur [−1; 2], donc f est croissante sur [−1; 2].
3. FAUX. Le tableau de variations de f est :
x −3
f′
f
−
−1
0
❅
❅
❅
❘
0
2
+
✯
✟✟
✟
✯−1
✟✟
✟
f étant strictement croissante sur [−1; 2], on a f (−1) < f (0).
Or f (0) = −1.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe a dans [−1; 2] tel que f (a) < −1.
4. VRAI. L’équation de la tangente à C au point d’abscisse 0 est
y = f ′ (0)(x − 0) + f (0) = x − 1.
Le point de coordonnées (1, 0) appartient bien à cette droite.
Exercice 4 :
1. La fonction tangente est définie lorsque cos(x) est différent de 0, donc pour tout réel différent
π
de + kπ, où k est un entier relatif.
2
2. Pour tout réel x appartenant à l’ensemble de définition de cette fonction :
sin(x + π) − sin x
tan(x + π) =
=
= tan(x)
cos(x + π) − cos x
sin(−x) − sin x
=
= − tan(x).
tan(−x) =
cos(−x)
cos x
"
"
π
Il suffit d’étudier la fonction sur 0; .
2
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Chapitre : Fonctions numériques : dérivation
Terminale S
#
π
π
"
3. Pour tout entier relatif k, tan est dérivable sur − + kπ; + kπ et pour tout x de appartenant
2
2
à cet intervalle :
cos x cos x − sin x(− sin x)
1
tan′ (x) =
=
car cos2 x + sin2 x = 1.
cos2 x
cos2 x
La dérivée de la fonction tan est positive, cette fonction est strictement croissante sur tous les
intervalles où elle est définie.
π
Quand x tend vers par valeurs inférieurs, sin x tend vers 1 et cos x tend vers 0. La fonction cos étant
"
" 2
π
π
positive sur 0; , tan x tend vers +∞ : La droite d’équation x = est asymptote verticale à la courbe
2
2
représentative de le fonction tan
π~
i
π
2
− π2
3π
2
y = tan x
Exercice 5 :
1. Pour x > 1 on a : −1 É sin x É 1. Donc 2x − 1 É 2x + sin x É 2x + 1.
2x − 1
2x + 1
Comme x − 1 est positif :
É f (x) É
.
x −1
x −1
2x + 1
2x − 1
et h(x) =
.
2. Posons g (x) =
x −1
x −1
2x
2x
lim g (x) = lim
= 2 et
lim h(x) = lim
= 2.
x→+∞
x→+∞ x
x→+∞
x→+∞ x
Ch
Cf
Cg
#»
 #»
ı
0
f est comprise entre les fonctions g et h qui tendent vers 2 quand x tend vers +∞.
Le théorème de l’encadrement nous permet d’affirmer que f converge et que sa limite est 2 en
+∞.
Exercice 6 :
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Chapitre : Fonctions numériques : dérivation
Terminale S
′
• f est dérivable sur R et f (x) = 1 − sin x.
π
Si x est un réel différent de + 2kπ où k est un entier relatif, sin x < 1.
2
Donc 1 − sin x > 0.
π
f ′ est strictement positive, sauf aux réels + 2kπ où elle s’annule.
2
f est donc strictement croissante sur R.
• Pour tout réel x : −1 É cos x É 1 donc x − 1 É f (x) É x + 1.
La fonction f est minorée par la fonction x 7→ x − 1 qui tend vers +∞ quand x tend vers +∞. Donc
elle tend vers +∞.
La fonction f est majorée par la fonction x 7→ x + 1 qui tend vers −∞ quand x tend vers −∞. Donc
elle tend vers −∞.
y = x +1
y = x + cos(x)
x
−∞
f (x)
+∞
+∞
✒
→
−
j →
−
i
0
y = x −1
−∞
• f est continue, strictement croissante sur R. L’image de R par f est R.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement croissante, il existe
un unique réel α tel que f (α) = 2.
Or f (2) = 2 + cos(2) ≈ 1, 58 et f (3) = 3 + cos(3) ≈ 2, 01, donc 2 < α < 3.
A l’aide de la calculatrice, on obtient : α ∈]2, 98; 2, 99[.
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