14- Identités remarquables I. Rappel (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemples (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 (2x + 1)(x – 1) = 2x² – 2x + x – 1 = 2x² – x – 1 1 II. (a + b)² = a² + 2 ab + b² (a + b)² = (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² ab = produit de a et b 2ab = double produit (a + b)² = a² + 2ab + b² Exemples (x + 2)² = x² + 4x + 4 (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9 Produit = 2x Double produit = 4x Produit = 6x Double produit = 12x 2 III. (a – b)² = a² – 2ab + b² (a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ba + b² = a² – 2ab + b² ab = produit de a et b 2ab = double produit (a – b)² = a² – 2ab + b² Exemples (x – 5)² = x² – 10x + 25 Produit = 5x Double produit = 10x (2x – 7)² = 4x² – 28x + 49 Produit = 14x Double produit = 28x (7x – 6)² = 49x² – 84x + 36 Produit = 42x Double produit = 84x 3 IV. (a + b)(a – b) = a² – b² (a + b)(a – b) = aa – ab + ba – bb = a² – ab + ba – b² = a² – b² (a +b)(a – b) = a² – b² Exemples (x + 1)(x – 1) = x² – 1 (x + 2)(x – 2) = x² – 4 (4x + 7)(4x – 7) = 16x² – 49 4 V. Équation produit AB=0 si A=0 ou B=0 Exemple Résoudre l’équation (x – 2)(2x + 3) = 0 (x – 2)(2x + 3) = 0 x–2=0 si : ou 2x + 3 = 0 x–2+2=0+2 x=2 2x + 3 – 3 = 0 – 3 2x = -3 Les solutions de cette équation sont : 3 x=2 x=2 et x = - 3 2 5