Cours

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C
HAPITRE 8 F ACTORISATIONS
I. S OMME ET PRODUIT
Exemple :
Une expression telle que 2 × x + 5 est une somme.
Une expression telle que 3 × (x + 7) est un produit.
Explication :
Pour savoir si une expression est une somme ou un produit on classe les opérations qui la
compose par ordre de priorité.
Si la dernière opération est une addition ou une soustraction on dit que l’expression est
une somme.
Note : Dans le cas d’une soustraction on peut parler de différence. Mais, comme une
soustraction peut être remplacée par une addition ( 5 – 2 = 5+ (-2) ) on peut aussi parler
de somme.
Si la dernière opération est une multiplication on dit que l’expression est un produit.
Dans un calcul du type 2 × x + 5, la multiplication étant prioritaire, la dernière
opération est l’addition. L’expression 2 × x + 5 est une somme.
Pour être plus précis, 2 × x + 5 est la somme des deux termes 2x et 5.
Dans un calcul du type 3 × (x + 7), l’opération entre parenthèses étant prioritaire, la
dernière opération est la multiplication. L’expression 3 × (x + 7) est une produit.
Pour être plus précis, 3 × (x + 7) est le produit des deux facteurs 3 et (x + 7).
Vocabulaire :
Factoriser une expression consiste à écrire cette expression sous forme d’un produit.
Note : Les éléments qui composent un produit sont appelés les facteurs. Le mot « facteur » a
donné « factorisation ».
II. F ACTORISER EN UTILISANT k ×
××
× a + k ×
××
× b = k ×
××
× (a + b) ou k ×
××
× a – k ×
××
× b = k ×
××
× (a – b)
k ×
××
× a + k ×
××
× b est une somme.
k ×
××
× (a + b) est un produit.
Lorsqu’on passe de k ×
××
× a + k ×
××
× b à k ×
××
× (a + b), on dit que l’on factorise par k.
A = 5x² + 3x
A = x
×
××
× 5x + x ×
××
× 3 Cette expression est du type k ×
××
× a – k ×
××
× b avec k = x a=5x et b=3
A = x ×
××
× (5x + 3) On factorise par x.

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B = 7x² – x
B= x ×
××
× 7x – x ×
××
× 1 Cette expression est du type k ×
××
× a – k ×
××
× b avec k = x a=7x et b=1
B = x ×
××
× (7x – 1) On factorise par x.
C = x²y + 3xy
C = xy ×
××
× x + xy ×
××
× 3 Cette expression est du type k ×
××
× a + k ×
××
× b avec k = xy a=x et b=3
C = xy ×
××
× (x + 3) On factorise par xy.
D = (x + 1)(3x + 2) – (x + 1)(x – 4)
D = (x + 1) ×
××
× (3x + 2) – (x + 1) ×
××
× (x – 4) Du type k ×
××
× a – k ×
××
× b avec k = (x +1)
a= (3x +2) et b= (x – 4)
D = (x + 1) ×
××
×
( )
(3x + 2) – (x – 4) On factorise par (x + 1).
D = (x + 1) ×
××
×
( )
3x + 2 – x + 4
D = (x + 1) ×
××
× (2x + 6)
Remarque :
Ici, on peut améliorer la factorisation en remarquant que (2x + 6) = 2(x + 3)
Donc D = (x + 1) ×
××
× (2x + 6)
D = (x + 1) × 2 × (x + 3)
D = 2 × (x + 1) × (x + 3) « Traditionnellement on met le 2 devant »
D = 2 (x + 1) (x + 3)
E = (2x + 5)² – (2x + 5)(6x + 1)
E = (2x + 5) ×
××
× (2x + 5) – (2x + 5) ×
××
× (6x + 1) ) Du type k ×
××
× a – k ×
××
× b avec k = (2x +5)
a= (2x +5) et b= (6x + 1)
E = (2x + 5) ×
××
×
( )
(2x + 5) – (6x + 1) On factorise par (2x + 5).
E = (2x + 5) ×
××
×
( )
2x + 5 – 6x – 1
E = (2x + 5) ×
××
× ( –4 x + 4)
Remarque :
On peut améliorer la factorisation en remarquant que ( –4 x + 4)= 4( – x + 1)
Donc E = (2x + 5) ×
××
× ( –4 x + 4)
E = (2x + 5) ×
××
× 4 × ( – x + 1)
E = 4 (2x + 5) (– x + 1) « Traditionnellement on met le 4 devant »

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III. F
ACTORISER EN UTILISANT a² – b² = (a –b) ×
××
× (a + b)
a² – b² est une somme (a –b) × (a + b) est un produit.
Le passage de a² – b² à (a –b) × (a + b) est bien une factorisation.
A = x² – 9
A = x² – 3² Du type a² – b² avec a = x et b = 3
A = (x – 3) × (x + 3)
B = x² – 1
B = x² – 1² Du type a² – b² avec a = x et b = 1
B = (x – 1) × (x + 1)
C =25 x² – 16
C = (5x)² – 4² Du type a² – b² avec a = 5x et b = 4
C = (5x – 4) × (5x + 4)
D = 36 – 9x
D = 6² – (3x)² Du type a² – b² avec a = 6 et b = 3x
D = (6 – 3x) × (6 + 3x) Attention à l’ordre (6 – 3x) et pas (3x – 6) .
L’ordre est le même que dans 6² – (3x)²
E = (2x + 7)² – 9
E = (2x + 7)² – 3² Du type a² – b² avec a = (2x + 7) et b = 3
E = (2x + 7 – 3) × (2x + 7 + 3)
E = (2x + 4)(6x + 10)
F = (2x + 7)² – 36x²
F = (2x + 7)² – (6x)² Du type a² – b² avec a = (2x + 7) et b = 6x
F = (2x + 7 – 6x) × (2x + 7 + 6x)
F = (-4x + 7)(6x + 7)
G = x² – 7
G = x
2
– ( ) 7
2
Du type a² – b² avec a = x et b = 7
G= ( ) x – 7 × ( ) x + 7
IV. F ACTORISER EN UTILISANT a² + 2ab + b² =
( )
a + b
2
ou a² – 2ab + b² =
( )
a – b
2

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a² + 2ab + b² est une somme et
( )
a + b
2
est un produit car c’est égal à (a + b) × (a + b)
Le passage de a² + 2ab + b² à
( )
a + b
2
est bien une factorisation.
A = x² + 10x + 25
A = x² + 2 × x × 5 + 5² Du type a² +2ab + b² avec a = x et b = 5
A = (x + 5)²
B =9 x² + 30x + 25
B = (3x)² + 2 × 3x × 5 + 5² Du type a² +2ab + b² avec a = 3x et b = 5
B = (3x + 5)²
C = x² – 2x + 1
C = x² – 2 × x × 1 + 1² Du type a² – 2ab + b² avec a = x et b = 1
C = (x – 1)²
D =16 x² – 8x + 1
D = (4x)² – 2 × 4x × 1 + 1² Du type a² – 2ab + b² avec a =4 x et b = 1
D = (4x – 1)²