(M-6) Le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore
Pythagore de Samos était un philosophe grec qui
vécut autour 530 avant Jésus Christ, en majeure
partie dans la colonie grecque de Crotone en Italie
du sud. Selon la tradition il démontra le premier
l'affirmation (le théorème) qui porte aujourd'hui son
nom :
Si un triangle présente des côtés de
longueur (a,b,c), dont (a,b) limitent un
angle de 90 degrés ("un angle droit"),
alors :
a2 + b 2 = c2
Un angle droit peut se définir comme un des 4
angles formés par le croisement de deux lignes
droites lorsque ceux ci sont égaux. La réciproque du
théorème est également vraie : si les longueurs des
trois côtés (a,b,c) d'un triangle satisfont à la relation
ci-dessus, alors l'angle limité par les côtés a et b est
égal à 90 degrés.
Par exemple, un triangle dont les côtés valent a = 3,
b = 4, c = 5 (pouces, pieds, mètres - n'importe)
possède un angle droit, parce que
a2 + b 2 = 3 2 + 4 2
9 + 16 = 25 = c2
Pour construire des angles droits, les bâtisseurs
égyptiens de l'antiquité connaissaient sans doute et
utilisaient les triangles " 3.4.5 ") (avec des tiges ou
des cordes
étalonnées);
même de nos
jours, les
constructeurs
peuvent se servir de ces
longueurs pour rectifier un
coin de mur.
Les démonstrations sont nombreuses mais la plus
facile est probablement celle qui est basée sur
l'algèbre, en passant par les identités élémentaires
discutées dans la section précédente, soit :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(rappel : 2ab signifie 2 fois a fois b). Par exemple
152 = (10 + 5)2
= 102 + (2)(10)(5) + 52
= 100 + 100 + 25 = 225
et
(a – b) 2 = a2 – 2ab + b2
Par exemple :
52 = (10 – 5)2
= 102 – (2)(10)(5) + 52
= 100 – 100 + 25 = 25
Il est également nécessaire de connaître quelques
surfaces simples : celle d'un rectangle se calcule en
multipliant la longueur par la largeur, par exemple
celle de celui qui est dessiné ci dessus vaut ab. une
diagonale le divise en deux triangles à angles droit
dont les côtés courts sont a et b, et dont la surface
est donc (1/2) ab.
Regardez maintenant le carré à gauche construit au
moyen de quatre triangles (a,b,c) . La longueur de
chacun de ses côtés est (a+b) et sa surface est
donc de (a+b)2.
Cependant, ce carré peut
également être scindé en
quatre triangles (a,b,c)
entourant un carré de côté
c (En toute rigueur, nous
devrions également prouver
que ses angles sont droits, mais nous l'omettrons).
Comme montré plus haut la surface de chaque
triangle vaut (1/2)ab, et la surface du petit carré c2.
La grande surface étant égale à la somme de tous
ses composants, on peut écrire :
(a + b) 2 = (4)(1/2)(a)(b) + c2
En remplaçant (a + b)2 par son identité et (4)(1/2)
par 2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
Enlevons 2ab de chaque côtés de l'égalité et il reste
:
a2 + b 2 = c2
On peut arriver au même résultat en utilisant un
autre carré, de surface c2. Comme le schéma de
droite le montre, cette surface peut être divisée en 4
triangles comme auparavant, plus un petit carré de
côté (a-b). Nous obtenons
c2 = (4)(1/2)(a)(b) + (a-b) 2
= 2ab + (a2 – 2ab + b2)
= a2 + b2 Q.E.D.
Q.E.D. signifie "Quod Erat Demonstrandum," pour
"ce qui devait être démontré," en latin : dans la
géométrie traditionnelle ces lettres marquent
l'aboutissement d'une preuve. Le travail de
Pythagore et des maîtres suivants de la géométrie
grecque (particulièrement Euclide) est important non
seulement par ce qu'ils ont prouvé , mais aussi par
la méthode qu'ils ont développé : Partir de quelques
données de base réputées validées (les "axiomes")
et en déduire par la logique leurs propriétés plus
complexes (les "théorèmes"). Les mathématiques
suivent toujours ce même modèle.