Répétition d`algèbre

Répétition d’algèbre
Prérequis : algèbre du secondaire I
I.
Requis pour : tout
Factorisation
P
ilules
ink
our
ersonnes
âles
Mise en évidence
On met en évidence les symboles apparaissant dans plusieurs termes. En
effet, ab + ac = a(b+c). Les parenthèses ne sont pas facultatives, car la
multiplication prime sur l'addition. Dans l’exemple suivant, on peut
mettre « 3 » en évidence :
3x + 3y + 6z + t = 3(x+y+2z) + t
Formules remarquables
Les formules de droite s’obtiennent à
partir des formules de gauche en
remplaçant b par (–b).
Essayez !
(a+b)2 = a 2 + 2ab + b2
(a+b)(a–b) = a 2 – b2
(a+b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
(a+b)(a 2–ab+b 2) = a3 + b 3
(a–b)2 = a 2 – 2ab + b 2
(a–b)3 = a 3 – 3a2b + 3ab 2 – b3
(a–b)(a2+ab+b2) = a3 – b3
Remarque : Il faut aussi savoir utiliser ces formules « à l’envers » !
Factorisation
Exemple
x2 + 11x + 28 = (x+4)(x+7)
On a tâtonné ainsi :
28 = 1·28 mais 1+28 ≠ 11
28 = 2·14 mais 2+14 ≠ 11
28 = 4·7 et 4+7 = 11
Exercice 1
Réponses
a. 7a(1–a+b)
b. (2a+1)(2a–1)
c. (a–2)(a2+2a+4)
d. (a–b)(x–3)
e. (x+3)(x+2)
f. (a–1)(a+1)(a+2)
g. (x–1)(x+1)(x–2)(x+2)
h. (a2–b2)2
i. (a+b)(2+a+b)(2–a–b)
j. 3(x+2)(x–8)
k. (x+4)(x–7)
l. (1–xy)(1+xy)
m. (2a2–1)(4a 4+2a 2+1)
n. (a+b+x)(a+b–x)
o. x(x+3)(x–2)
p. (a+1)(a2–4a+7)
Factoriser un polynôme de degré supérieur ou égal à 2 revient à l’écrire
sous la forme d’un produit de facteurs.
Pour vérifier une factorisation, il suffit de développer le produit écrit au
deuxième membre et de voir si l’on retrouve le premier membre.
On a souvent à factoriser des polynômes du second degré :
x2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
Il faut donc trouver (par tâtonnement) deux nombres a et b dont la somme
correspond au deuxième terme et le produit au troisième terme. Il est plus
facile de commencer le tâtonnement par le produit.
Décomposez en facteurs :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p*.
7a + 7ab – 7a 2
4a2 – 1
a3 – 8
x(a–b) + 3(b–a)
x2 + 5x + 6
a3 – a + 2a 2 – 2
(x2–1)2 – 3(x2–1)
a4 + b 4 – 2a2b2
(–a–b)3 + 4(a+b)
3x2 – 18x – 48
x2 – 3x – 28
1 – x2y2
8a6 – 1
a2 + 2ab – x2 + b 2
x3 + x2 – 6x
a3 – 3a2 + 7 + 3a
Effectuez :
q.
r.
s.
t.
u.
v.
w.
3·2 + 1
3(2+1)
4 + 3·2
(4+3)·2
3 + 4·3 – 6·2
(3+6) – 5·2 + 9 – 4(2+5)
2 + 3·52
Supprimez les parenthèses inutiles :
x. (4·x) + 5(2+x)
y. (x+2)(x–1) + (3·x) – (x+2)
z. (x–3)2·(x–4) + (x+2)3
−
Rappel
g. a n
5
b.
7
d. b − a
1+ a
b
x −3
h.
x −2
f.
Réponses
c.
e.
g.
i.
k.
5a
6
4 − a2
2a
5x
(x + 2)(x − 3)
1
2+ a
x +3
(x − 3)(x +2)
b −a
a 2 − ab +b 2
b.
d.
f.
h.
j.
l.
14a
15
a +b
ab
1
b− a
x
x −1
1 − 4x
2x 3
1
x n−1
c. 1
a.
≠
−3
−4
5a + 5b
7a +7b
(a − b) 2
d.
b−a
1 + a3 + 3a 2 + 3a
f.
a2b + 2ab + b
6a 6b2 c
4a2b 2 c5
b.
a + ab
2ab
a3 −1
e.
(1− a)3
c.
g.
a 4n − a 3n
a 3n − a2 n
h.
a a
+
2 3
2 a
c.
−
a 2
2
3
e.
+
x +2 x − 3
2
1
4
g.
+
−
a + 2 2 − a 4 −a 2
x 2 + 9 −6x
x2 −5x +6
a 2a
−
+a
3
5
1 1
d.
+
a b
1
2a
f.
−
a + b a 2 − b2
3
2x
h. 1 +
−
x − 3 (x − 3)(x −1)
b.
i.
1
1
1
+
+ 2
2
x − x − 6 x− 2 x − 5x + 6
j.
4 2 − x 1 −10x 2
− 2 +
x
x
2x 3
k.
a−b
3a 2
a
+
2
2 − 3
a −b
a + b3 a 2 − ab +b 2
l.
x(1+ y) x − y
1
+ n−1 − n − 2
xn
x
x
b.
a2 − b2
a2b
⋅ 2
a
a + 2ab + b 2
ab(a − b)
a+b
2
a c
d.
2b
a.
3ab 20b3 c 2 −a
⋅
⋅ 2
−5c 9a2
2b c
c.
a −b
−c
(a + b)
⋅
⋅
ac+ bc a 2 + ab + b 2 b 2 − a 2
b.
3
3
2
d.
5a2 b
c
10b 2
c2
Effectuez :
Exercice 5
Réponses
a. x 2 (x + 1)
x −1
c.
x2
3 −3
3
=
=
4 4
−4
Effectuez :
Réponses
2b2
3
Exemple : −
a.
Exercice 4
a.
−a
−b
Effectuez :
Exercice 3
a.
≠
Simplifiez les fractions suivantes :
Exercice 2
Réponses
3a 4
a.
2c 4
1+ b
c.
2b
a2 + a +1
e. −
(1− a) 2
a −a
a
=
=
b b
−b
b. x – 1
b
d. −
a
1
1
1
+ x + 2 1− + 2
x
x
x
a.
⋅
1
1
1+ 3
x2
x
1 − x + x2 −
c.
1+
x3
x +1
1
x −1
2
1 + x2
−2
x
b.
1
1−
x
1
1
−
b a−b
d. a +
1
1
+
a +b a−b