Calcul littéral et identité remarquables

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Dé
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r
re
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em
m
ma
a
ar
r
rq
q
qu
u
ua
a
ab
b
bl
l
le
e
es
s
s
I. Révisions les puissances
Exercices de révision (partie exercice)
Synthèse : soit a un nombre non nul et n un entier naturel (positif), alors
an = a a …. a
1
nn
aa
a0 = 1
Si n et m sont deux entiers (positifs ou négatifs), alors :
n m n m
a a a 
nnm
m
aa
a
m
n n m
aa
Avec les puissances de 10 :
10 100....0 10 0,0.........01
nn
Ecriture scientifique : ,  10n
Exemples :
Ecrire en écriture scientifique : A =
4
72
0,0025 10 10 
B=
14 6
7
3
13 10 10
2 10
Exprimer plus simplement :
23
3 5 3 2x x a
II. Distributivité (5ème) et double distributivité (4ème)
1. Développer et réduire
2
3 4 1 16 1
2 7 6 5
42
4 3 3 2 4 5
xx
xx
x x x
xx
Réponses :
42
42
42
42
x
x
x
x
Chapitre
7
7
7
Un seul chiffre sauf 0

2. Vrai ou faux ?
Le développement du produit
45ab
est
5 4 20ab a b  
Le développement du produit
126
2
xx
est
2
2 5 3xx
Quel que soit n, on peut écrire
2
1 2 2n n n n    
Si A=
6 1 2xy
, B=
32x y z  
et C=
23xz
, alors
A+B+C = xz
Synthèse :
 Développer un produit, c’est l’écrire sous forme d’une somme algébrique
22
2 1 2 3 4 6 2 3 4 4 3x x x x x x x        
 Soient k, a, b, c et d des nombres quelconques, alors
k a b ka kb
a b c d ac ad bc bd
 Rappel : lorsqu’une parenthèse est précédée du signe +, on peut supprimer la
parenthèse sans changer les signes,
lorsqu’une parenthèse est précédée du signe – on peut supprimer la parenthèse en
changeant les signes
3 2 3 1xy   
7 2 (3 1)aa   
22
2 5 1 (2 3 2)x x x x     
Exercices : Développer et réduire : A =
2 1 3 2 4 3 2x x x   
Puis calculer A si x=0 puis si x=–2
Développer et réduire :
2 5 2 3 7 3 2
5 2 3 1 2 5 2 4
7 3 3 3 3
B x x x x
C a a a a
D x x x x
ATTENTION :
Développer et réduire :
6 2 1 6 2E x x x x    
On factorise
On développe
produit
Somme algébrique
développer
réduire
Distributivité
Double distributivité

2
4 2 3 1 2 3
5 ( 2)( 2)
F x x x
G x x
III. Les identités remarquables
1. Carré d’une somme
Développer
2 2 2 2 2
3 4 5 2 3 6 7x y a x x    
Etablir une conjecture pour le développement rapide de
2
ab
Première identité remarquable :
222
2a b a ab b   
 Preuve : pour tous nombres a et b :
22 2 2 2
2a b a b a b a ab ab b a ab b          
 Illustration géométrique (où a et b sont positifs)
(livre page 15)
Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes :
2 2 2 2 2
2
7 12 3 1 2 4 5 2 2 9x a x t x y     
22
22
2
22
2
2 1 3 2
12
5 3 5
3 2 7 2 7
A x x
B x x x
C x x
D x x
2. Carré d’une différence
Développer
2 2 2 2
2
3 4 5 2 3 6 7x y a x x    
Etablir une conjecture pour le développement rapide de
2
ab
Deuxième identité remarquable :
222
2a b a ab b   
 Preuve : pour tous nombres a et b :
22 2 2 2
2a b a b a b a ab ab b a ab b          
 Illustration géométrique (où a et b sont positifs)
(livre page 15)
Methode : laisser le –, ouvrir
une parenthèse et développer
62xx
Ensuite, enlever la parenthèse
en changeant les signes.

Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes :
2 2 2 2 2
2
7 12 3 1 3 2 2 11 3 9x a x t x y     
22
22
22
2
2 3 2
1 3 2
7 3 2 5
3 2 7 2 7
A x x
B x x
C x x
D x x
3. Produit d’une somme par une différence
Développer :
3 3 5 5 2 1 2 1 3 2 3 2x x x x x x a a       
Etablir une conjecture pour le développement rapide de
a b a b
Troisième identité remarquable :
22
a b a b a b   
 Preuve : pour tous nombres a et b :
2 2 2 2
a b a b a ab ab b a b       
Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes :
3 1 3 1 2 3 2 3 7 5 7 5a a y y x x     
etc…
4. Application au calcul mental
Calculer mentalement : 21² ; 39² ; 19² ; 1921 ; 4951 ; 101² ; 8892
5. Complément méthode : savoir démontrer une égalité
Exemple : prouver que
2
2 2 2 2 2 2a b c ab ac bc a b c       
Méthode : on part d’un des 2 membres, on développe et on vérifie que l’on trouve bien
l’autre membre.
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
abc abcabc
a ab ac ab b bc ac bc c
a b c ab ac bc
OU
22 2
2 2 2
2
...... 2 2 2
a b c a b a b c c
a b c ab ac bc