Expressions algébriques et équations 1 Développement 2

Expressions algébriques et équations
Règles de bases :
R1 : A×B=B×A
R2 : (A×B)×C=A×(B×C)
1 Développement
1.1 Règle
La seule règle supplémentaire est R3 : A×(B+C) = A×B+A×C.
A,B, et Cpeuvent être des nombres ou des expressions entre parenthèses.
1.2 Exemples
Détaillez chaque calcul en nommant la règle (R1,R2ou R3) utilisée et ne pas oublier de réduire
l’expression finale :
•2x(x−3) = . . .
•(2x+ 4)(−x+ 3) = . . .
• −5x(2x+ 4) −(−x+ 3)(4x−7) = . . .
1.3 Pour aller plus vite
Les égalités remarquables :
(A+B)2=A2+ 2AB +B2
(A−B)2=A2−2AB +B2
(A+B)(A−B) = A2−B2
Exemple : (3x−5)2= (3x)2−2×3x×5+52= 9x2−30x+ 25
2 Factorisation
2.1 Règles
La règle R3 : A×B+A×C=A×(B+C)
les égalités remarquables :
A2+ 2AB +B2= (A+B)2
A2−2AB +B2= (A−B)2
A2−B2= (A+B)(A−B)
1

2.2 Facteur commun
C’est le cas le plus simple : on applique la règle R3.
Exemples :
•6x2−3x(x−5) = 3x×2x−3x(x−5) = 3x[2x−(x−5)] = 3x(x+ 5)
•(2x−1)2+ (3x−5)(2x−1) = (2x−1)(2x−1) + (2x−1)(3x−5) = (2x−1)[(2x−
1) + (3x−5)] = (2x−1)(5x−6)
2.3 Pas de facteur commun
2.3.1 On reconnait une égalité remarquable
Exemple : (3x−2)2−16x2= (3x−2)2−(4x)2= (3x−2+4x)(3x−2−4x) = (7x−2)(−x−2)
On a utilisé la troisième égalité remarquable.
2.3.2 Factorisation partielle
Exemple : (2x−1)2+ 6x2−3x= (2x−1)(2x−1) + 3x(2x−1) = (2x−1)[. . .] = . . .
Il y a maintenant un facteur commun et on peut continuer.
2.3.3 On développe
Exemple : (2x+ 3)2−2x(x−6) + 7(x2+ 1) = 4x2+ 12x+ 9 −2x2+ 12x+ 7x2+ 7 =
9x2+ 24x+ 16 = (3x+ 4)2
Après le développement, on peut factoriser s’il y a un facteur commun ou si on reconnait une
égalité remarquable. Sinon on ne peut pas factoriser!
Exemple x2+ 2x+ 10 ne peut pas se factoriser.
On peut l’écrire comme une somme de deux carrés : (x+ 1)2+ 32.
3 Equations
A savoir :
si ax +b= 0 alors x=−
b
a
et
un produit est nul si l’un des facteurs est nul
On essaie donc de se ramener à une équation du type : ax +b= 0
ou : (ax +b)(cx +d)(ex +f). . . = 0
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3.1 Equations simples
Exemple : 3(x−5) + 5x=−2x+ 3
on développe : 3x−15 + 5x=−2x+ 3
on regroupe : 3x+ 5x+ 2x−15 −3 = 0
on réduit : 10x−18 = 0
on résoud : x=18
10 =9 5ou x= 1,8
3.2 Equations produit
Méthode : on regroupe tous les termes du même côté de l’égalité et on factorise.
Exemple : (2x−1)2=−6x2+ 3x
on regroupe : (2x−1)2+ 6x2−3x= 0
on factorise l’expression de gauche : (2x−1)(2x−1) + 3x(2x−1) = 0,
soit (2x−1)(2x−1+3x) = 0,
c’est-à-dire : (2x−1)(5x−1) = 0
on résoud sachant que l’un des facteur est nul : 2x−1 = 0 ou 5x−1 = 0
les solutions sont donc x=1
2et x=1 5
3.3 Exercice
On donne P(x) = (3x−5)2−4.
1. Développer P(x).
2. Factoriser P(x).
3. Résoudre les équations suivantes en choisissant l’une des trois formes de P(x):
(a) P(x) = 0
(b) P(x) = 21
(c) P(x) = 5
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