Un sens est plus facile que l`autre : En fait si u est diagonalisable , P

Un sens est plus facile que l’autre : En fait si u est diagonalisable , P (u) est diagonalisable, pour tout polynôme P ∈ C[X] puisque si x est un vecteur propre de u alors
x 6= 0 et u(x) = λx pour un certain λ ∈ C, donc P (u)(x) = P (λ)x, ce qui prouve que
x est aussi un vecteur propre de P (u) (associé à la valeur propre P (λ)).
Réciproquement, supposons que P 0 (u) est un isomorphisme de E et que P (u) est diagonalisable. Soit A le polynôme minimal de l’endomorphisme P (u) alors (AP )(u) = 0,
donc le polynôme Q = AP est un polynôme annulateur de u et par suite toute valeur
propre de u est une racine de Q. Quitte à diviser par le coefficient dominant, on peut
supposer que Q est unitaire. On peut donc écrire Q = Q1 Q2 avec Q1 est unitaire et
a pour racines les valeurs propres de u comptées avec leur multiplicités et Q2 est soit
égal à 1 soit unitaire et a pour racines les racines de Q qui ne sont pas des valeurs
propres de u, comptées aussi avec leur ordre de multiplicités. Nous
Q avons Qm2 (u) est un
isomorphisme car si Q2 = 1, c’est claire, sinon, écrivons Q2 =
(X − λ) λ . Comme
λ∈I
λ 6∈ Sp(u), l’endomorphisme u − λ est bijectif donc (uλ )mλ , donc Q2 (u). Il en découle
que Q1 (u) = 0. Ainsi Q1 est un polynôme annulateur de u dont toutes les racines sont
des valeurs propres de u. Nous allons démontrer qu’elle sont simples. Supposons que
λ est une racine de Q1 qui n’est pas simple. Comme Q1 divise Q, on peut dire aussi
que λ est une racine non simple de Q, donc Q(λ) = Q0 (λ) = 0. Or Q = AP permet
d’écrire Q0 (λ) = A0 (P (λ))P 0 (λ). Comme λ est une valeur propre de u et que P 0 (u) est
un isomorphisme on a forcément P 0 (λ) 6= 0. Il en découle que A(µ) = A(µ) = 0 où
µ = P (λ), donc µ est une racine non simple de A, ce qui est absurde car P (u) étant
diagonalisable, son polynôme minimal A est à racines simples.
1