Un sens est plus facile que l`autre : En fait si u est diagonalisable , P

Un sens est plus facile que l’autre : En fait si uest diagonalisable , P(u)est diagona-
lisable, pour tout polynôme P∈C[X]puisque si xest un vecteur propre de ualors
x6= 0 et u(x) = λx pour un certain λ∈C, donc P(u)(x) = P(λ)x, ce qui prouve que
xest aussi un vecteur propre de P(u)(associé à la valeur propre P(λ)).
Réciproquement, supposons que P0(u)est un isomorphisme de Eet que P(u)est dia-
gonalisable. Soit Ale polynôme minimal de l’endomorphisme P(u)alors (AP )(u)=0,
donc le polynôme Q=AP est un polynôme annulateur de uet par suite toute valeur
propre de uest une racine de Q. Quitte à diviser par le coefficient dominant, on peut
supposer que Qest unitaire. On peut donc écrire Q=Q1Q2avec Q1est unitaire et
a pour racines les valeurs propres de ucomptées avec leur multiplicités et Q2est soit
égal à 1soit unitaire et a pour racines les racines de Qqui ne sont pas des valeurs
propres de u, comptées aussi avec leur ordre de multiplicités. Nous avons Q2(u)est un
isomorphisme car si Q2= 1, c’est claire, sinon, écrivons Q2=Q
λ∈I
(X−λ)mλ. Comme
λ6∈ Sp(u), l’endomorphisme u−λest bijectif donc (uλ)mλ, donc Q2(u). Il en découle
que Q1(u)=0. Ainsi Q1est un polynôme annulateur de udont toutes les racines sont
des valeurs propres de u. Nous allons démontrer qu’elle sont simples. Supposons que
λest une racine de Q1qui n’est pas simple. Comme Q1divise Q, on peut dire aussi
que λest une racine non simple de Q, donc Q(λ) = Q0(λ)=0. Or Q=AP permet
d’écrire Q0(λ) = A0(P(λ))P0(λ). Comme λest une valeur propre de uet que P0(u)est
un isomorphisme on a forcément P0(λ)6= 0. Il en découle que A(µ) = A(µ) = 0 où
µ=P(λ), donc µest une racine non simple de A, ce qui est absurde car P(u)étant
diagonalisable, son polynôme minimal Aest à racines simples.
1