Réduction des endomorphismes autoadjoints.

Sandrine CARUSO
Réduction des endomorphismes autoadjoints.
Référence : Gourdon
Théorème. Soit Eun espace euclidien (resp. hermitien) et f∈ L(E)autoadjoint. Alors
fest diagonalisable dans une base orthonormée, et ses valeurs propres sont réelles.
Lemme. Soit Eeuclidien ou hermitien, f∈ L(E)autoadjoint. Si Fsev de Eest stable
par f, alors F⊥est stable par f.
Démonstration. Soit x∈F⊥. Alors ∀y∈F,hx|yi= 0. Soit y∈F. Comme Fest
stable par f,f(y)∈Fdonc hx|f(y)i= 0. Or, fest autoadjoint donc hf(x)|yi= 0.
Ceci étant vrai pour tout y∈F, on a bien f(x)∈F⊥.
Démontrons maintenant le théorème. On raisonne par récurrence sur la dimension
nde E. Si n= 1, il existe λ∈Ctel que ∀x∈E,f(x) = λx. Le fait que fsoit
autoadjoint s’écrit ∀x, y ∈E, x¯ λ¯y=λy¯x, en particulier pour x=y= 1,λ=¯ λet λ
est réel.
Supposons que n>2, et que le résultat vrai pour tout espace de dimension n−1. No-
tons Φla forme quadratique (resp. hermitienne) définie par Φ(x) = hx|f(x)i. Puisque
Eest de dimension finie, Φest continue et la sphère unité Sest compacte. Il existe
donc x0∈Stel que Φ(x0) = maxx∈SΦ(x). On note λce max, qui est un réel. Soit Φ1
la forme quadratique définie par Φ1(x) = λkxk2−Φ(x). Par construction, Φ1est une
forme positive, et Φ(x0) = 0. Ainsi, Φ1n’est pas définie positive. Or, d’après l’inégalité
de Cauchy-Schwarz, une forme positive non définie positive est dégénée : si on note ϕ1
la forme polaire associée à Φ1, pour tout y∈E,|ϕ1(x0, y)|26Φ1(x0)Φ1(y)=0donc
ϕ1(x0, y) = 0 = ϕ1(y, x0). Or, on a ϕ1(y, x) = hy|λx −f(x)i. Ainsi, λx0−f(x0)est
orthogonal à tout élément de E, donc est nul. On en déduit que λest valeur propre de f
associée à x0.
Soit F=x⊥
0. C’est un sous-espace euclidien (resp. hermitien) de Ede dimension
n−1. Comme x0est vecteur propre de f,< x0>est stable par fet d’après le lemme, F
est stable par f. L’endomorphisme f|Finduit par fsur Fest encore autoadjoint, et par
hypothèse de récurrence, il est diagonalisable dans une base orthonormée (x1, . . . , xn−1)
de F, et ses valeurs propres sont réelles. Or, par construction, (x0, x1, . . . , xn−1)est une
base othonormée de Eet fest diagonalisable à valeurs propres réelles dans cette base.
Application (Pseudo-réduction simultanée).Soient S1et S2deux matrices symétriques
réelles (resp. hermitiennes) de taille n,S1étant définie positive. Alors il existe P∈
GLn(K)et Ddiagonale réelle telles que
tP S1P=Inet tP S2P=D.
1

Démonstration. La matrice S1étant définie positive, la forme quadratique canonique-
ment associée sur Knest un produit scalaire (resp. hermitien), que l’on note h·|·i. On
note Φla forme quadratique associée à S2; elle est de la forme Φ(x) = hx|f(x)ioù
fest un endomorphisme autoadjoint. Il existe donc une base Borthonormée pour h·|·i
dans laquelle la matrice Dde f, qui est aussi celle de Φ, est diagonale réelle. Il suffit
alors de prendre pour Pla matrice de passage de Bà la base canonique.
2