Télécharger

DEVOIR MAISON n˚3 Dates indiqu´ees ci-dessous
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´ecision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En particulier, les
r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
Pour Vendredi 9 Octobre 2015
PROBL` EME 1 : Extrait E3A
Le probl`eme comporte deux parties qui peuvent ˆetre trait´ees de fa¸con largement ind´ependante.
Notation : nest un entier sup´erieur ou ´egal `a 2.
RnXest l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a ncoefficients r´eels.
Rest l’ensemble des r´eels strictement positifs.
aest un param`etre r´eel.
Objectif : ´
Etude d’une famille d’applications lin´eaires.
PARTIE I : ´ Etude de l’application :
Aa:R3XR3X
P X X 1P X aX 1P X
1. Montrer que Aaest un endomorphisme de R3X.
2. ´ Ecrire la matrice Made Aadans la base canonique de R3X, (Xk,0k3).
3. ´ Etude du cas particulier a4.
(a) La matrice M4
0 1 0 0
0 4 0 0
0 0 6 3
0 0 0 6
est-elle diagonalisable ?
(b) D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A4.
4. (a) D´eterminer en fonction du r´eel ales valeurs propres de Aa.
(b) Pour quelles valeurs du r´eel al’endomorphisme Aaadmet-il des valeurs propres doubles ?
(c) Existe-t-il une valeur du r´eel apour laquelle Aaadmet une valeur propres triple ?
5. Pour quelles valeurs de a,Aaest-il diagonalisable ?
6. Pour quelles valeurs du r´eel ale degr´e du polynˆome AaPest-il ´egal au degr´e de P, pour tout polynˆome
Pnon constant de R3X?
7. On suppose dans cette question que an’appartient pas `a 2,1,0 .
(a) D´eterminer Ker Aapar la donn´ee d’une de ses bases.
(b) Montrer que 1 aX, X2, X3est une base de Im Aa.
(c) Discuter selon pN, 0 p3, l’ensemble des polynˆomes de R3Xsolutions de l’´equation :
X X 1P X aX 1P X Xp
PARTIE II : QUELQUES PROPRI´ ET´ ES DE L’APPLICATION :
Aa,n :RnXRnX
P X X 1P X aX 1P X
1. Justifier rapidement que Aa,n est un endomorphisme de RnX.
2. ´ Ecrire la matrice Made Aa,n dans la base canonique de RnX, (Xk,0k n).
3. Soit λR. Montrer que λest une valeur propre de Aa,n si et seulement si il existe kN,0k n
tel que λ k a k 1 .
4. Montrer que si aR, l’endomorphisme Aa,n est diagonalisable.
Dans le cas particulier o`u a0, Aa,n est-elle diagonalisable ?
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PSI

DEVOIR MAISON n˚3 Dates indiqu´ees ci-dessous
Pour Mardi 13 Octobre 2015
Exercices n˚114, 120 et 137 de la feuille d’exercice n˚3
Pour Mercredi 14 Octobre 2015 - `a d´eposer sur le serveur NAS
Soit MMnKtelle que χmsoit scind´e sur K.
On note λ1, . . . , λnles valeurs propres de Msans tenir compte de leur multiplicit´e respective.
On a prouv´e que : «kN,
n
i1
λk
itr Mk.»
´
Ecrire sur Python un programme permettant de d´eterminer la valeur propre de plus grand module `a l’aide
des traces de deux puissances it´er´ees cons´ecutives.
(en supposant que les valeurs propres sont distinctes et que la trace n’est jamais nulle)
Pour pouvez r´epondre aux questions dans votre programme Python en laissant des commentaires.
1. On r´efl´echira `a un test d’arrˆet «satisfaisant »pour cette m´ethode.
2. Appliquer votre programme `a la matrice A
0,5172 0,5473 1,224 0,8012
0,5473 1,388 1,353 1,112
1,224 1,353 0,03642 2,893
0,8012 1,112 2,893 0,05827
.
Que trouve-t-on comme valeur propre `a 10 2pr`es ?
3. Toujours avec ce programme, d´eterminez une deuxi`eme valeur propre de A(`a 10 2pr`es).
4. Conclure en donnant le spectre de M(`a 10 2pr`es). Mest-elle diagonalisable ?
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 2 PSI