Ultrabac Terminale S - Antilles-Guyane septembre 2010 exercice 3

Ultrabac Terminale S - Troisième exercice du sujet obligatoire Antilles-Guyane septembre 2010 Page 1 sur 2
On considère la suite des nombres réels
(
)
n
u
définie sur  par :
0 1
2 1
1
12
1
pour tout entier naturel
4
n n n
u u
u u u n
+ +
= − =
= − ×
1. Calculer
2
u
et en déduire que la suite
(
)
n
u
n'est ni arithmétique, ni géométrique.
Calculons le troisième terme de la suite :
( )
2 1 0
1 1 1 1 1 3
1
4 2 4 2 4 4
u u u
= − × = − × − = + =
Une suite est dite arithmétique si pour passer d'un terme au suivant, on rajoute toujours
la même quantité (qui peut être éventuellement négative).
Comme
1 0
2 1
1,5
0, 25
u u
u u
= +
= +
, alors la suite
(
)
n
u
n'est pas arithmétique.
Une suite est dite géométrique si pour passer d'un terme au suivant, on multiplie
toujours par le même facteur.
Comme
( )
1 0
2 1
0,5
1,5
u u
u u
= × −
= ×
, alors la suite
(
)
n
u
n'est pas géométrique.
2. On définit la suite
(
)
n
v
en posant, pour tout entier naturel n :
1
1
2
n n n
v u u
+
= − ×
2.a. Calculer
0
v
Nous pouvons écrire :
( )
0 1 0
1 1 1 1 1
1 1
2 2 2 2 2
v u u
= − × = − × − = + =
2.b. Exprimer
1
n
v
+
en fonction de
n
v
.
Pour tout entier naturel n, nous pouvons écrire :
1 2 1
1 1 1 1
1
2
1 1 1 1 1 1 1
4 2 2 4 2 2 2
n n n
n n n n n n n n
v u u
u u u u u u u v
+ + +
+ + + +
= − ×
= − × − × = × − × = × − × = ×
2.c. En déduire que la suite
(
)
n
v
est géométrique de rapport
1
2
.
Comme pour passer du terme
n
v
au terme
1
n
v
+
on multiplie toujours (quelque soit
l'entier n) par le même facteur
1
2
, alors la suite
(
)
n
v
est géométrique de raison
1
2
.
Petit commentaire sur l'énoncé
La question 2.c. indique quelle relation il fallait rechercher dans la question 2.b.
Il aurait été plus judicieux de rassembler ces deux questions en un «démontrer que la
suite
(
)
n
v
est géométrique». Mais bon, je ne fais pas les sujets...
2.d. Exprimer
n
v
en fonction de n.
Comme la suite
(
)
n
v
est géométrique de raison
1
2
, alors pour tout entier naturel n :
0
1 1 1 1
1
2 2
2 2
n n n
n
n n
v v     = × = × = =
3. On définit la suite
(
)
n
w
en posant pour tout entier naturel n :
n
n
n
u
w
v
=
3.a. Calculer
0
w
.
Nous pouvons écrire :
0
0
0
1
1
1
u
w
v
−
= = = −
3.b. En utilisant l'égalité 1
1
2
n n n
u v u
+
= + ×
, exprimer
1
n
v
+
en fonction de
n
u
et de
n
v
.
D'abord, pour tout entier naturel n, nous avons :
1 1
1 1
donc
2 2
n n n n n n
v u u v u u
+ +
= − × + × =
Il vient alors :
1
1
1
1
1
2
2
2
2
11
22
2
2
n n
n n n
n n n
n
n n
nn
v u
v u v
u v u
w
v v
vv
+
++
×  + ×
+ × ×
× +
× 
= = = = =
××
n
v2
n
n
n
u
w
v
+ = +
On calcule les
différences de
deux termes
consécutifs.
On calcule les
rapports de
deux termes
consécutifs.
Pour savoir quel type de relation rechercher,
il faut juste regarder la question suivante...
Oops !
Nous avons
été trop loin.

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3.c. En déduire que pour tout n de , 1
2
n n
w w
+
= +
.
Déjà fait !
Cela dit, comme pour passer du terme
n
w
au suivant
1
n
w
+
, on rajoute toujours la même
quantité 2, alors nous en concluons que la suite
(
)
n
w
est arithmétique de raison 2.
Re-petit commentaire sur l'énoncé
Là encore, l'énoncé est mal posé. Il aurait été plus judicieux de combiner les questions
3.b et 3.c en un «démontrer que la suite
(
)
n
w
est arithmétique de raison 2.».
3.d. Exprimer
n
w
en fonction de n.
Comme la suite
(
)
n
w
est arithmétique de raison 2, alors pour tout entier naturel n :
0
2 1 2 2 1
n
w w n n n
= + × = − + = −
4. Montrer que pour tout entier naturel n :
2 1
2
n
n
n
u
−
=
En utilisant les résultats des questions précédentes, nous pouvons écrire :
( )
1 2 1
2 1
2 2
n
n n n n n n
n
un
w u v w n
v
−
= ⇔ = × = − × =
5. Pour tout entier naturel n, on pose :
0 1
0
n
n k n
k
S u u u u
=
= = + + +
∑
…
Démontrer par récurrence que pour tout entier n de  :
2 3
2
2
n
n
n
S
+
= −
Pour plus de clarté, nous appellerons
n
P
la propriété
2 3
2
2
n
n
n
S
+
= − .
Au premier rang pour 0
n
=
D'une part, nous avons :
0 0
1
S u
= = −
Et de l'autre :
0
2 0 3 3
2 2 2 3 1
1
2
× +
− = − = − = −
Donc la propriété
0
P
est vraie.
Le principe de récurrence ou de propaga
tion
Supposons que la propriété
n
P
soit vraie pour un certain entier naturel n. C'est-à-dire :
0 1
2 3
2
2
n
S
n
n
n
u u u
+
+ + + = − …
La propriété
(
)
1
1 0 1 1 1
2 1 3
: 2
2
n
S
n n n
n
P u u u
+
+ + +
+ +
+ + + = − … est-elle alors vraie ?
Nous pouvons écrire :
( ) ( )
( )
1 0 1 1
1
D'apr
D'après
1
1
1 1
è
1
s
2 1 1 2 3
2 3 2 1
2 2 2
2 2 2 2
4 6 2 1
2
2
2 1 3
2 5 2 5
2 2 2
2 2
2
2
n
n
n n
S
n
n n n n
n
n n n
P
S u u u u
n n
n n
n n
n
n n
+ +
+ +
+
+ + +
= + + + +
+ − +
+ +
= − + = − +
− − + +
= +
+ +
− − +
= + = −
×
×
= −
…
4.
Donc la propriété
1
n
P
+
est alors vraie. Le principe de récurrence est établi.
Conclusion : pour tout entier naturel n, nous avons :
0 1
2 3
2
2
n
S
n
n
n
u u u
+
+ + + = − …
On met tout au
même dénominateur...
La formule
avec n=0...