Ultrabac Terminale S - Antilles-Guyane septembre 2010 exercice 3

Ultrabac Terminale S - Troisième exercice du sujet obligatoire Antilles-Guyane septembre 2010
On considère la suite des nombres réels ( un ) définie sur par :
1
u0 = −1
u1 =
2
1
un + 2 = un +1 − × un pour tout entier naturel n
4
Comme pour passer du terme vn au terme vn +1
l'entier n) par le même facteur
Calculons le troisième terme de la suite :
1
1 1
1 1 3
u2 = u1 − × u0 = − × ( −1) = + =
4
2 4
2 4 4
Une suite est dite arithmétique si pour passer d'un terme au suivant, on rajoute toujours
la même quantité (qui peut être éventuellement négative).
, alors la suite ( un ) n'est pas arithmétique.
u2 = u1 + 0, 25
On calcule les
différences de
deux termes
consécutifs.
Une suite est dite géométrique si pour passer d'un terme au suivant, on multiplie
toujours par le même facteur.
On calcule les
Comme u1 = u0 × ( −0,5 ) , alors la suite ( un ) n'est pas géométrique.
u2 = u1 × 1,5
1
.
2
on multiplie toujours (quelque soit
2.c. En déduire que la suite ( vn ) est géométrique de rapport
1. Calculer u2 et en déduire que la suite ( un ) n'est ni arithmétique, ni géométrique.
Comme u1 = u0 + 1,5
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Petit commentaire sur l'énoncé
La question 2.c. indique quelle relation il fallait rechercher dans la question 2.b.
Il aurait été plus judicieux de rassembler ces deux questions en un «démontrer que la
suite ( vn ) est géométrique». Mais bon, je ne fais pas les sujets...
2.d. Exprimer vn en fonction de n.
Comme la suite ( vn ) est géométrique de raison
n
1
vn = un +1 − × un
2
2.a. Calculer v0
Nous pouvons écrire :
1
1 1
1 1
v0 = u1 − × u0 = − × ( −1) = + = 1
2
2 2
2 2
2.b. Exprimer vn +1 en fonction de vn .
Pour tout entier naturel n, nous pouvons écrire :
1
Pour savoir quel type de relation rechercher,
vn +1 = un + 2 − × un +1
il faut juste regarder la question suivante...
2
1
1
1
1
1 
1
 1
= un +1 − × un − × un +1 = × un +1 − × un = ×  un +1 − × un  = × vn
4
2
2
4
2 
2
 2
1
, alors pour tout entier naturel n :
2
n
1n
1
1
1
vn = v0 ×   = 1×   =
=
n
2
2
2
2n
3. On définit la suite ( wn ) en posant pour tout entier naturel n :
rapports de
deux termes
consécutifs.
2. On définit la suite ( vn ) en posant, pour tout entier naturel n :
1
1
, alors la suite ( vn ) est géométrique de raison .
2
2
u
wn = n
vn
3.a. Calculer w0 .
Nous pouvons écrire :
u
−1
w0 = 0 =
= −1
v0
1
1
3.b. En utilisant l'égalité un +1 = vn + × un , exprimer vn +1 en fonction de un et de vn .
2
D'abord, pour tout entier naturel n, nous avons :
1
1
vn = un +1 − × un donc vn + × un = un +1
Oops !
2
2
Nous avons
Il vient alors :
été trop loin.
1


1
2 ×  vn + × un 
un +1 vn + 2 × un
2

 = 2 × vn + un = 2 × vn + un = 2 + w
=
=
wn +1 =
n
1
vn +1
vn
vn
1

vn
× vn
2 ×  × vn 
2
2

Ultrabac Terminale S - Troisième exercice du sujet obligatoire Antilles-Guyane septembre 2010
3.c. En déduire que pour tout n de , wn +1 = wn + 2 .
Le principe de récurrence ou de propagation
Déjà fait !
Cela dit, comme pour passer du terme wn au suivant wn +1 , on rajoute toujours la même
quantité 2, alors nous en concluons que la suite ( wn ) est arithmétique de raison 2.
Re-petit commentaire sur l'énoncé
Là encore, l'énoncé est mal posé. Il aurait été plus judicieux de combiner les questions
3.b et 3.c en un «démontrer que la suite ( wn ) est arithmétique de raison 2.».
3.d. Exprimer wn en fonction de n.
Comme la suite ( wn ) est arithmétique de raison 2, alors pour tout entier naturel n :
wn = w0 + 2 × n = −1 + 2n = 2n − 1
2n − 1
2n
En utilisant les résultats des questions précédentes, nous pouvons écrire :
u
1
2n − 1
wn = n ⇔ un = vn × wn = ( 2n − 1) ×
=
n
vn
2
2n
∑ uk = u0 + u1 + … + un
Démontrer par récurrence que pour tout entier n de :
2n + 3
Sn = 2 −
2n
Pour plus de clarté, nous appellerons Pn la propriété Sn = 2 −
2n + 3
2n
.
Au premier rang pour n = 0
D'une part, nous avons :
S0 = u0 = −1
La formule
avec n=0...
Et de l'autre :
2× 0 + 3
2
La propriété Pn +1 : u0 + u1 + … + un +1 = 2 −
Sn +1
2 ( n + 1) + 3
2n +1
Nous pouvons écrire :
Sn +1 = u0 + u1 + … + un + un +1
0
= 2−
3
= 2 − 3 = −1
1
est-elle alors vraie ?
On met tout au
même dénominateur...
Sn
D'après Pn
2 × ( 2n + 3) 2n + 1
2n + 3 2 ( n + 1) − 1
= 2−
+
= 2−
+
2n
2n +1
2 × 2n
2n +1
−4 n − 6 + 2 n + 1
= 2+
2n +1
2 ( n + 1) + 3
−2 n − 5
2n + 5
= 2+
= 2−
= 2−
n +1
n +1
2
2
2n +1
Donc la propriété Pn +1 est alors vraie. Le principe de récurrence est établi.
n
k =0
Donc la propriété P0 est vraie.
n
2n + 3
u0 + u1 + … + un = 2 −
2n
S
n
2−
2n + 3
u0 + u1 + … + un = 2 −
2n
S
Conclusion : pour tout entier naturel n, nous avons :
5. Pour tout entier naturel n, on pose :
Sn =
Supposons que la propriété Pn soit vraie pour un certain entier naturel n. C'est-à-dire :
D'après 4.
4. Montrer que pour tout entier naturel n :
un =
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