‰ Janvier 2021 ‰ Page 1sur 3 v Feuille d'exercices 09 v Les suites : arithmétiques et géométriques Exercice 1 Soit (un ) une suite arithmétique telle que u4 = 5 et u9 = 15: 2 ‰ Deuxième sciences ‰ 1 ‰ Lycée Al-Emtièz Moulares ‰ 3 a Déterminer la raison r et le premier terme u0 de cette suite. b Vérifier que pour tout n 2 N, un = 2n ` 3. c Exprimer en fonction de n la somme : A = n X un . k=0 Soit (vn ) la suite définie sur N par vn = n + u2n . a Montrer que (vn ) est une suite arithmétique de raison 5. b Calculer la somme S 0 = v0 + v1 + v2 + ´ ´ ´ + 15. On pose T = 1 + 2 + 3 + ´ ´ ´ + 15, S = u0 + u1 + u2 + ´ ´ ´ + u30 et S 00 = u1 + u1 + u2 + ´ ´ ´ + u29 . a Calculer T . b Vérifier que S 0 + S 00 = S + T puis calculer S 00 . 1 n (2 + 6n ` 9) : Calculer w0 , w1 et w2 et 3 déduire que w n’est pas arithmétique ni géométrique. 4 Soit la suite (wn ) définie sur N par : wn = 5 Soit (an ) la suite définie sur N par an = wn ` un . a Montrer que (an ) est une suite géométrique et préciser sa raison et son premier terme. b Exprimer en fonction de n les somme ff = n X k=0 an et x = n X wn . k=0 Exercice 2 ‰ Issaoui Hacen ‰ Soit u la suite défine sur N par un = 3n + 1. 1 Montrer que u est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. 2 On pose S = u0 + u1 + u2 + ´ ´ ´ + un : 3 a Exprimer S en fonction de n. b En déduire la valeur de : A = 5 + 8 + 11 + ´ ´ ´ + (3n ` 1): Soit la suite (vn ) définie sur N par vn = 2un . 5 ‰ Janvier 2021 ‰ Page 2sur 3 4 a Montrer que v est une suite géométrique de raison 8. b On pose S 0 = v1 + v2 + v3 + ´ ´ ´ + vn : Déterminer l’entier n pour que S 0 soit égale à 1872. Soit (wn ) la suite définie sur N par w= 5n ˆ 8n ` 5n vn . Montrer que w est une suite suite géométrique et préciser sa raison et son premier terme. On considère la suite (un ) définie par u0 = 0 et pour tout n 2 N, un+1 = Calculer u1 et u2 puis vérifier que u n’est pas arithmétique ni géométrique. 2 Soit la suite v définie sur N par vn = un ` 2n + 3: a Soit ffn = vn+1 + vn+2 c On note tn = ‰ b 1 . 2 0 1 22 ` 1 A . + ´ ´ ´ + v2n . Montrer que ffn = 3 @ 4n n X 1 . Exprimer tn en fonction de n. En déduire les valeurs de n k=0 vk pour que tn – 20 pour tout n 2 N. Soit la somme sn = n X uk . Où n 2 N. Exprimer sn en fonction de n. Exercice 4 1 ‰ Issaoui Hacen Montrer que v est une suite géométrique de raison k=0 ‰ Lycée Al-Emtièz Moulares 3 2 ‰ 1 1 un + n + . 2 2 1 ‰ Deuxième sciences ‰ Exercice 3 Soit (un ) la suite géométrique définie sur N de raison q = `4 et telle que u4 = 256. a Calculer u0 et u1 . b Exprimer un en fonction de n. c Calculer S = u1 + u2 + ´ ´ ´ + u10 . Soit (vn ) la suite définie sur N par vn = a Montrer que v est suite géométrique et préciser sa raison. b Exprimer en fonction de n la somme S 0 = v0 + v2 + ´ ´ ´ + vn`1 . Où n 2 N˜ . c 3 22n+3 . 8 Déterminer n pour que S 0 = 1365. Soit (wn ) la suite définie sur N par : wn = a Calculer w0 et w1 . u2n . 2 vn b Montrer que pour tout n 2 N, wn = 1. c Calculer la somme ff = u4 ˆ u2 u6 ˆ u3 u20 ˆ u10 u2 ˆ u1 + + + ´´´ + : 2 2 2 2 v1 v4 v3 v10 ‰ Janvier 2021 ‰ Page 3sur 3 Exercice 5 Deuxième sciences ‰ Pour tout entier naturel n – 1 On pose Ln l’aire de la partie comprise entre deux demi-cercles successifs. (Voir figure). Ln L3 ‰ L2 L1 b ‰ Lycée Al-Emtièz Moulares ‰ 0 1 2 3 b b b b b 1 2 3 4 n b n+1 Calculer L1 et L2 . ı ı n+ . 4 8 b Montrer que la suite (Ln ) est une suite arithmétique. a Montrer que pour tout entier n – 1, Ln = A l’intérieur du demi-cercle de diamètre 20, on colore en bleue les zones correspondants aux termes d’indices impaires (L1 ; L3 ; : : : ) et en rouge les zones correspondants aux termes d’indices paires (L2 ; L4 ; : : : ). On désigne par A1 l’aire total des zones bleus et par A2 21ı l’aire total des zones rouges, Montrer que A1 ` A2 = . 8 Exercice 6 ‰ Issaoui Hacen ‰ Une fille veut acheter un téléphone portable son père s’engage à l’aider en lui donnant le premier jour dix dinars, ensuite chaque jour il lui donne trois dinars. On désigne par un la somme d’argent obtenue le n-ième jour. 1 2 a Donner les valeurs de u1 , u2 et u3 . b Exprimer un en fonction de n pour tout n 2 N˜ . Sachant que le prix du portable est 350 dinars, Quel est le nombre minimal de jours pour que la fille puisse acheter téléphone portable ?
