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‰Issaoui Hacen ‰‰Lycée Al-Emtièz Moulares ‰‰Deuxième sciences ‰‰Janvier 2021 ‰
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vFeuille d'exercices 09 v
Les suites : arithmétiques et géométriques
Exercice 1
Soit (un)une suite arithmétique telle que u4= 5 et u9= 15:
1aDéterminer la raison ret le premier terme u0de cette suite.
bVérier que pour tout n2N,un= 2n`3.
cExprimer en fonction de nla somme : A=
n
X
k=0
un.
2 Soit (vn)la suite dénie sur Npar vn=n+u2n.
aMontrer que (vn)est une suite arithmétique de raison 5.
bCalculer la somme S0=v0+v1+v2+´´´+ 15.
3On pose T=1+2+3+´´´+ 15,S=u0+u1+u2+´´´+u30
et S00 =u1+u1+u2+´´´+u29.
aCalculer T.
bVérier que S0+S00 =S+Tpuis calculer S00.
4Soit la suite (wn)dénie sur Npar : wn=1
3(2n+ 6n`9):Calculer w0,w1et w2et
déduire que wn’est pas arithmétique ni géométrique.
5Soit (an)la suite dénie sur Npar an=wn`un.
aMontrer que (an)est une suite géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
bExprimer en fonction de nles somme ff=
n
X
k=0
anet x=
n
X
k=0
wn.
Exercice 2
Soit ula suite déne sur Npar un= 3n+ 1.
1Montrer que uest une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
2On pose S=u0+u1+u2+´´´+un:
aExprimer Sen fonction de n.
bEn déduire la valeur de : A= 5 + 8 + 11 + ´´´+ (3n`1):
3 Soit la suite (vn)dénie sur Npar vn=2un
5.

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aMontrer que vest une suite géométrique de raison 8.
bOn pose S0=v1+v2+v3+´´´+vn:Déterminer l’entier npour que S0soit égale
à1872.
4 Soit (wn)la suite dénie sur Npar w=5nˆ8n`5nvn. Montrer que west une suite
suite géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
Exercice 3
On considère la suite (un)dénie par u0= 0 et pour tout n2N,un+1 =1
2un+n+1 2.
1 Calculer u1et u2puis vérier que un’est pas arithmétique ni géométrique.
2Soit la suite vdénie sur Npar vn=un`2n+ 3:
aMontrer que vest une suite géométrique de raison 1
2.
bSoit ffn=vn+1 +vn+2 +´´´+v2n. Montrer que ffn= 3 0
@
22`1
4n
1
A.
cOn note tn=
n
X
k=0
1
vk
. Exprimer tnen fonction de n. En déduire les valeurs de n
pour que tn–20 pour tout n2N.
3Soit la somme sn=
n
X
k=0
uk. Où n2N. Exprimer snen fonction de n.
Exercice 4
1Soit (un)la suite géométrique dénie sur Nde raison q=`4et telle que u4= 256.
aCalculer u0et u1.
bExprimer unen fonction de n.
cCalculer S=u1+u2+´´´+u10.
2Soit (vn)la suite dénie sur Npar vn=22n+3
8.
aMontrer que vest suite géométrique et préciser sa raison.
bExprimer en fonction de nla somme S0=v0+v2+´´´+vn`1. Où n2N˜.
cDéterminer npour que S0= 1365.
3 Soit (wn)la suite dénie sur Npar : wn=u2n
v2
n
.
aCalculer w0et w1.

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bMontrer que pour tout n2N,wn= 1.
cCalculer la somme ff=u2ˆu1
v2
1
+u4ˆu2
v2
4
+u6ˆu3
v2
3
+´´´+u20 ˆu10
v2
10
:
Exercice 5
Pour tout entier naturel n–1On pose Lnl’aire de la partie comprise entre deux demi-cercles
successifs. (Voir gure).
0n+ 1 n
Ln
43
L3
2
L2
1
L1
1 Calculer L1et L2.
2aMontrer que pour tout entier n–1,Ln=ı
4n+ı 8.
bMontrer que la suite (Ln)est une suite arithmétique.
3 A l’intérieur du demi-cercle de diamètre 20, on colore en bleue les zones correspondants aux
termes d’indices impaires (L1; L3;:::)et en rouge les zones correspondants aux termes
d’indices paires (L2; L4; : : : ). On désigne par A1l’aire total des zones bleus et par A2
l’aire total des zones rouges, Montrer que A1`A2=21ı
8.
Exercice 6
Une lle veut acheter un téléphone portable son père s’engage à l’aider en lui donnant le premier
jour dix dinars, ensuite chaque jour il lui donne trois dinars. On désigne par unla somme
d’argent obtenue le n-ième jour.
1aDonner les valeurs de u1,u2et u3.
bExprimer unen fonction de npour tout n2N˜.
2Sachant que le prix du portable est 350 dinars, Quel est le nombre minimal de jours pour
que la lle puisse acheter téléphone portable ?