Cours - suites arithmétiques et géométriques

Chapitre . . .
LES SUITES : SUITES ARITHMÉTIQUES, SUITES GÉOMÉTRIQUES
I. Suites arithmétiques :
1. Par récurrence :
Définition : formule par récurrence
Une suite
(u
n
)
est arithmétique si chaque terme se déduit du précédent en ajoutant un nombre constant r,
appelé raison de
u
n
.
Ainsi, pour tout entier naturel n,
un1=unr
.
Exemples
La suite
u
n
des nombres 0, 2, 4, 6, 8, 10, …., est définie par
u
n1
=. . . . . . .
Son premier terme est . . . et sa raison est . . .
La suite
un
18, 25, 32, 39, 46, …. , est définie par
un1=. . . . . . .
Son premier terme est . . . et sa raison est . . .
Remarques
- Une suite arithmétique est définie par récurrence par la donnée de son premier terme
u
0
et de sa raison r.
- La différence entre deux termes consécutifs d'une suite arithmétique est donc constante :
un1−un=r
.
Cette égalité est utile pour l'application suivante.
Application : Déterminer si les suites suivantes sont arithmétiques.
1. La suite
(u
n
)
définie par
un=5n+7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. La suite
(v
n
)
définie par
v
n
=n
2
+n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Terme général :
Propriété
Soit
(u
n
)
une suite arithmétique de premier terme
u
0
et de raison r.
Alors le terme général de cette suite est
un=u0nr
.
Exemple
La suite
u
n
définie par
u
n
=5n7
vue plus haut a donc pour premier terme 7 et pour raison 5.
Remarques
_ Cette propriété équivaut à une définition par formule explicite d'une suite arithmétique. Si l'on fait le parallèle
avec les fonctions, ce serait une fonction . . . . . . . . . .
_ Si le premier terme est
u1
, alors
un=. . . . . . . . . . .

Application : Calculer directement un terme.
1. Soit
u
n
une suite arithmétique de premier
terme -8 et de raison 3. Calculer
u
75
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2. Soit
u
n
une suite arithmétique telle que
u0=23 et u26=75
. Déterminer
u
105
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Remarque
Pour tous nombres m et p,
u
m
=u
p
. . . . . . . .
Application
Soit
un
une suite arithmétique telle que
u8=79 et u25=147
. Déterminer le terme général
un
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Variation et comportement à l'infini :
Propriété
Soit
un
une suite arithmétique de raison r.
_ Si r > 0, alors la suite u est . . . . . . . . . . . . . . . et sa limite est . . . . .
_ Si r < 0, alors la suite u est . . . . . . . . . . . . . . . et sa limite est . . . . .
4. Somme des entiers de 1 à n :
Théorème
Pour tout entier naturel n, on a : 1 + 2 + 3 + … + n =
n×n1
2
On note
. . . . .=n×n1
2
Démonstration S = 1 + 2 + 3 + …. + (n – 1) + n
S = n + (n – 1) + (n – 2) + …. + 2 + 1
donc 2S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ainsi S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . + 27 =

Propriété
Soit m et p deux entiers naturels tels que p > m et u une suite arithmétique.
Alors
um+um+1+um+2+…+up=(um+up)×(p−m+1)
2
Formulée autrement
um+um+1+um+2+…+up=(premier terme+dernier terme)×(nombre de termes)
2
Démonstration
Application : Calculer une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.
Calculer –24 – 9 + 6 + 21 + 36 + … + 201.
II. Suites géométriques :
1. Par récurrence :
Définition : formule par récurrence
Une suite
un
est géométrique si chaque terme se déduit du précédent en multipliant par un nombre constant
q, appelé raison de la suite
u
n
. Ainsi, pour tout entier naturel n,
u
n1
=q×u
n
.
Exemples
La suite
un
des nombres 2, 6, 18, 54, 162, 486, …., est définie par
un1=. . . . . . .
Son premier terme est . . . et sa raison est . . .
La suite
u
n
1, -2, 4, -8, 16, …. , est définie par
u
n1
=. . . . . . .
Son premier terme est . . . et sa raison est . . .
Remarques
_ Une suite géométrique est définie par récurrence par la donnée de son premier terme
u0
et de sa raison q.
_ Le quotient entre deux termes consécutifs d'une suite géométrique est donc constant :
un1
un
=q
. Cette
égalité permet de retrouver la raison d'une suite géométrique.

2. Terme général :
Propriété
Soit
u
n
une suite géométrique de premier terme
u
0
et de raison q.
Alors le terme général de cette suite est
un=. . . . . . . .
.
Démonstration
Application : Déterminer si les suites suivantes sont géométriques.
1. La suite
un
définie par
un=2
3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. La suite
v
n
définie par
vn=3n3n
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Remarques
_ Cette propriété équivaut à une définition par formule explicite d'une suite géométrique.
_ Si le premier terme est
u1
, alors
un=. . . . . . . . . . .
_ Pour tous nombres m et p,
u
m
=. . . . . . . .×u
p
Application : Calculer directement un terme.
1. Soit
u
n
une suite géométrique de premier
terme 4 et de raison 5. Retrouvez le terme
général de la suite puis calculez
u5et u8
.
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2. Soit
u
n
une suite géométrique telle que
u2=108et u5=2916
. Retrouvez le terme
général de la suite puis calculez
u
8
.
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3. Variation et comportement à l'infini
Théorème
Soit
u
n
une suite géométrique de raison q et de premier terme
u0
:
Alors les variations de u sont indiquées par le tableau suivant :
q < 0 0 < q < 1 q > 1
u0>0
u0<0
Démonstration
Théorème : admis
Soit q un nombre réel.
_ Si q < -1 alors
qn
n'a pas de limite
_ Si -1 < q < 1 alors
lim
n→+∞
q
n
=0
_ Si q > 1 alors
lim
n→+∞
qn=+∞
Corollaire
Soit
u
n
une suite géométrique de raison q et de premier terme
u0
.
Alors le comportement en l'infini de u est indiqué par le tableau suivant :
q < -1 -1 < q < 1 q > 1
u0>0
u0<0
Exemples