T ES Suites Rappels

Suites numériques
I.
II.
Généralités
1) Définition
Une suite numérique est une application définie de É ou une partie de É dans Ë.
u:É
Ë
n  u(n)
L’image de n par u, u(n), est aussi noté un.
un est le terme général de la suite, n est l’indice du terme un.
La suite est noté ( un)n É. un et un+1 sont deux termes consécutifs de la suite.
2) Exemple
Soit la suite définie par un = 2n – 10.
Les termes de la suite un sont tels que u0 = -10 ; u1 = -8 ; u2 = -6 ; … ; u10 = 10 ; … ; u20 = 30 …
u10 est le terme d’indice 10, mais c’est le 11e terme de la suite car le premier terme est uo.
3) Suite définie par : un = f(n)
Le terme général un est défini en fonction de n. La suite est définie sous une forme
fonctionnelle.
Exemple :
u:É
Ë
n²
n  un =
- 5n + 2
2
Dans ce cas, on peut calculer directement tout terme un.
4) Suite définie par récurrence : un+1 = f(un)
Une suite est définie sous forme récurrente ( ou par récurrence) quand elle est définie
par la donnée du premier terme et une relation liant un terme précédent ; un+1 est donné
en fonction de un.
Exemple :
u0
3
un 1 2un 5
Dans ce cas, pour calculer un terme, il faut calculer tous les termes précédents.
u1 = 2u0 – 5 = - 11 ; u2 = 2u1 – 5 = - 27 ; …
5) Suite définie par la liste de ses termes
Une suite peut être déterminée par la liste de ses termes ; c'est-à-dire par la donnée de
u0 ; u1 ; u2 ; …
Sens de variation d’une suite
1) Croissance
Dire qu’une suite u est croissante ( respectivement décroissante ) signifie que pour tout
n É, un+1 ≥ un ( respectivement un+1 ≤ un )
Exemples:
un = n² est croissante
1
un =
est décroisante
n
2) Méthode
Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut :
(1) Etudier le signe un+1 – un.
(2) Si un = f(n), on étudie le sens de variation de la fonction f.
(3) Si un est une suite dont tous les termes sont positifs, on compare
III.
un 1
à 1.
un
Suites arithmétiques
1) Définition
Une suite (un) est arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que, pour tout nombre
entier naturel n, on ait :
un+1 = un + r.
r est appelé la raison de la suite arithmétique.
Exemples :
Soit (un) la suite arithmétique de premier terme 7 et de raison –2.
Ses premiers termes sont tels que :
u 0 = 7 ; u1 = 7 – 2 = 5 ; u 2 = 5 – 2 = 3 ; …
La suite des nombres entiers naturels ( 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; …) est une suite
arithmétique, son premier terme est 0, sa raison est 1.
La suite des nombres entiers impairs ( 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; … ) est une suite arithmétique de
premier terme 1, et de raison 2.
Remarque :
Une suite arithmétique est déterminée par la donnée de son premier terme u0
( éventuellement u1) et de sa raison r.
2) Calcul de un en fonction de n
Propriété :
Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r est :
un = u0 + nr.
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1 + ( n - 1 ) r.
Exemple :
Si ( un) est la suite de premier terme u0 avec u0 = 7 et de raison –2, on a :
un = 7 – 2n
On retrouve ainsi : u4 = 7 – 4 2 = 7 – 8 = -1.
On a rapidement : u50 = 7 – 100 = - 93.
Si (vn) désigne la suite des nombres impairs ( v0 = 1 ; v1 = 3 ; v2 = 5 ; … ).
Son premier terme étant 1 et sa raison 2, on a :
vn = 1 + 2n pour le (n+1)ième nombre impair.
3) Somme des (n+1) premiers termes
Pour tout entier naturel n :
n(n+1)
Sn = 0 + 1 + 2 + 3 + … + n =
2
IV.
2)
Calcul de un en fonction de n
Propriété :
Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est :
un = u0
qn
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1
Si (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors :
(n+1)(u0+un)
Sn = u0 + u1 + … + un =
2
nombre de termes (premi er terme derni er terme )
Sn =
2
Exemple :
Exemple :
un = 3 – 2n
(un) est une suite arithmétique de raison –2 et de premier terme u0 = 3.
u15 = 3 - 2 15 = - 27
16 (3 27 )
S15 = u0 + u1 + … + u15 =
= -192
2
On retrouve ainsi : u3 = 12
Suites géométriques
1) Définition
Une suite (un) est géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout nombre
entier naturel n, on ait :
Un+1 = qun.
q est appelé la raison de la suite géométrique.
Remarque :
Une suite géométrique est déterminée par la donnée de son premier terme u0
( éventuellement u1) et de sa raison q.
Exemples :
1
Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 avec u0 = 12 et de raison . Ses
2
1
1
1
3
12 = 6 ; u2 =
6 =3 ; u3 =
3= ;…
premiers termes sont u0 = 12 ; u1 =
2
2
2
2
1
La suite géométrique (vn) de premier terme v0 tel que v0 = 12 et de raison – est
2
3
telle que : v0 = 12 ; v1 = -6 ; v3 = 3 ; v4 = - ; …
2
La suite des puissances entières de 2 : ( 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; … ; 2n ; … ) est une suite
géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
qn 1 .
Si ( un) est la suite de premier terme u0 avec u0 = 12 et de raison
un = 12
1
2
1
, on a :
2
n
1
2
3
= 12
1
3
=
8
2
3) Somme des (n+1) premiers termes
Somme des puissances entières de q
Pour tout entier naturel n :
Sn = 1 + q + q² + q3 + … + qn =
Dem :
Sn
Sn q
1
qn 1
1 q
= 1 + q + q² + q3 + … + qn
= q ( 1 + q + q² + q3 + … + qn )
= q + q² + q3 + q4 + … + qn+1
on en déduit que :
Sn - Sn q = 1 – qn+1
( 1 – q ) Sn = 1 – qn+1
Si q
1, Sn =
1
1
qn 1
q
Somme des (n+1) premiers termes
Si (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0, alors :
Sn = u0 + u1 + … + un =
Sn =
1
qn 1
1 q
1 qnombre de termes
1 q
u0
(premi er terme )
Dem :
Mettre en facteur le premier terme u0.