IV Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques

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IV Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques
4.1 Suites arithmétiques
Remarque Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, il suffit de démontrer que pour tout entier
 la différence   est constante (donc indépendante de ). Cette constante sera alors la
raison de la suite.
Conséquence immédiate Une suite arithmétique est croissante si sa raison est positive, décroissante
si sa raison est négative et constante si sa raison est nulle.
Exemples 1) La suite formée des entiers naturels pairs (rangés dans l’ordre croissant)
2)    
3)  
Définition On dit qu’une suite  est arithmétique si, à partir de son 1er terme, chaque terme est obtenu
en ajoutant au précédent un même nombre.
Alors, il existe un réel  tel que, pour tout entier 
Schéma :
Le nombre  est appelé raison de la suite arithmétique  : il est égal à la différence entre deux termes
consécutifs quelconques : pour tout entier 

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Démonstration admise
Remarque L’écriture   permet de déterminer la limite d’une suite arithmétique :
Exemple 1) Soit  une suite arithmétique de raison 
 telle que  .
2) Soit  une suite arithmétique de raison    telle que . Calculer  et .
4.2 Sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique
Démonstration (à connaître parfaitement !)
Exemple
Propriété Formule explicite
Soit  une suite arithmétique de premier terme  et de raison .
Alors, pour tout entier 
Plus généralement, on a : pour tous entiers  et  tels que     ,
Propriété Somme des n 1ers entiers
Soit  un entier naturel non nul, on a :

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Un peu d’histoire des maths :
Démonstration : en exercice
Notation On écrit avec un nouveau symbole la somme de propriété qui est la lettre grecque sigma
majuscule (). On note :
Remarque La somme suivante 
 contient    termes.
Exemple
4.3 Suites géométriques
Propriété Cas général
Soit  une suite arithmétique de premier terme  et de raison .
Alors, pour tout entier  :
Définition On dit qu’une suite  est géométrique si, à partir de son 1er terme, chaque terme est obtenu
en multipliant le précédent un même nombre.
Alors, il existe un réel  tel que, pour tout entier 
Schéma :
Le nombre  est appelé raison de la suite géométrique  : il est égal au quotient entre deux termes
consécutifs différents de 0 : pour tout entier 

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Remarques
1. Si   , tous les termes de la suite, hormis peut-être  sont nuls.
Si  , tous les termes de la suite sont nuls.
En dehors de ces deux cas triviaux, inintéressants, tous les termes de la suite sont différents
de zéro.
2. Si   , la suite est constante égale à son 1er terme.
3. Pour démontrer qu'une suite est géométrique, il suffit de démontrer que pour tout entier 
le quotient 
 est constant (donc indépendant de ). Cette constante sera alors la raison
de la suite.
Exemples 1)  
2)   
Démonstration admise
Exemples 1) Soit  la suite géométrique de premier terme   et de raison   .
2) Déterminer les suites géométriques  telles que   et  .
Propriété Formule explicite
Soit  une suite géométrique de premier terme  et de raison .
Alors, pour tout entier 
Plus généralement, on a : pour tous entiers  et  tels que     ,

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Démonstration en exercice
Exemples
4.4 Sommes de termes consécutifs d’une suite géométriques
Démonstration (à connaître parfaitement !)
Exemple
Propriété Sens de variation
1. Soit  une suite géométrique de premier terme   et de raison .
(i) Si   ,
(ii) Si     ,
(iii) Si   ,
2. Si  , les résultats précédents s’inversent.
Propriété Somme des puissances successifs d’un nombre q
Soit  un entier naturel et  un nombre réel tel que   , on a :