Tle S - exos bacs (suites)

Exercice n°1
On considère la suite de nombres réels (un) définie sur N par :
1
1
u0 = −1, u1 = et, pour tout entier naturel n, 𝑢𝑛+2 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛
2
4
1). Calculer u2 et en déduire que la suite (un) n’est ni arithmétique ni géométrique.
1
2). On définit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n : 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛
2
a). Calculer v0.
b). Exprimer vn+1 en fonction de vn.
1
c). En déduire que la suite (vn) est géométrique de raison
2
d). Exprimer vn en fonction de n.
𝑢
3). On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n : 𝑤𝑛 = 𝑛
𝑣𝑛
a). Calculer w0.
1
b). En utilisant l’égalité : 𝑢𝑛+1 = 𝑣𝑛 + 𝑣𝑛 , exprimer wn + 1 en fonction de un et de vn.
2
c). En déduire que pour tout n de N, wn + 1 = wn +2.
d). Exprimer wn en fonction de n.
2𝑛−1
4). Montrer que pour tout entier naturel n, 𝑢𝑛 = 𝑛
2
5). Pour tout entier naturel n, on pose : 𝑆𝑛 = ∑𝑘=𝑛
𝑘=0 𝑢𝑘 = 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ . +𝑢𝑛
Démontrer par récurrence que pour tout n de lN :
2𝑛 + 3
𝑆𝑛 = 2 −
2𝑛
Exercice n°2
4𝑢 −1
Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et pour tout nombre entier naturel n, par : 𝑢𝑛+1 = 𝑛 .
𝑢𝑛 +2
4𝑥−1
Si f est la fonction définie sur l’intervalle ]−2 ; +1[ par : 𝑓(𝑥) =
, alors on a, pour tout nombre entier naturel n, un + 1 = f (un).
𝑥+2
On donne en annexe 2 (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative C de la fonction f ainsi que la droite d d’équation y = x.
1). a). Sur l’axe des abscisses, placer u0 puis construire u1, u2 et u3 en laissant apparents les traits de construction.
b). Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite (un) ?
2). a). Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a un −1 > 0.
b). Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans
l’évaluation. Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1). B).
3). Dans cette question, on se propose d’étudier la suite (un) par une autre méthode, en déterminant une expression de un en fonction de n.
1
Pour tout nombre entier naturel n, on pose : 𝑣𝑛 =
𝑢𝑛 −1
1
a). Démontrer que la suite (vn) est une suite arithmétique de raison
3
b). Pour tout nombre entier naturel n, exprimer vn puis un en fonction de n.
c). En déduire la limite de la suite (un).